Limiti
Scrivi f(x) e il punto a cui tende la x — un numero, oppure inf per l'infinito — e ottieni il limite con la forma indeterminata riconosciuta, il percorso di de l'Hôpital passaggio per passaggio e la tabella dei valori che ci arriva.
Il tuo calcolo
Modifica i dati e confrontaPunto: un numero (0, 2,5, pi), inf per +∞ oppure -inf per −∞.
Funzioni: sin cos tan exp ln log sqrt arcsin arctan abs. ln è naturale, log è in base 10.
limx→0 (1 − cos(x)) / x²
1/2
valore numerico 0,5
forma indeterminata 0/0
Metodo: forma 0/0 risolta con la regola di de l'Hôpital (2 derivazioni).
| Derivazione | Nuovo quoziente | Limite |
|---|---|---|
| 1ª | (sin(x)) / (2 · x) | 0,5 |
| 2ª | (cos(x)) / (2) | 0,5 |
De l'Hôpital si applica solo alle forme 0/0 e ∞/∞ e va ripetuto finché la forma resta indeterminata. Derivare numeratore e denominatore separatamente non è la regola del quoziente: sono due derivate distinte.
| x | f(x) da destra | f(x) da sinistra |
|---|---|---|
| 0,0015625 | 0,499999898 | 0,499999898 |
| 0,00078125 | 0,499999975 | 0,499999975 |
| 0,000390625 | 0,499999994 | 0,499999994 |
| 0,0001953125 | 0,499999998 | 0,499999998 |
| 0,0000976563 | 0,5 | 0,5 |
| 0,0000488281 | 0,499999989 | 0,499999989 |
| 0,0000244141 | 0,500000082 | 0,500000082 |
| 0,000012207 | 0,500000268 | 0,500000268 |
Il campionamento si ferma a circa 1,2·10⁻⁵ dal punto e poi estrapola. Scendere più vicino peggiora il risultato invece di migliorarlo: in doppia precisione 1 − cos(10⁻⁹) viene arrotondato a 0 esatto, e (1−cos x)/x² restituirebbe 0 al posto di 1/2.
| Forma | Tecnica abituale |
|---|---|
| 0/0 | si scompone e si semplifica il fattore comune, oppure limiti notevoli, oppure de l'Hôpital |
| ∞/∞ | si raccoglie la potenza di grado massimo, oppure gerarchia degli infiniti, oppure de l'Hôpital |
| ∞ − ∞ | si razionalizza (moltiplicando per la somma coniugata) o si raccoglie il termine dominante |
| 0 · ∞ | si riscrive come quoziente, 0/(1/∞) oppure ∞/(1/0), e si ricade nei due casi precedenti |
| 1^∞ | si riconduce al limite notevole di e, oppure si passa al logaritmo: e^(g·ln f) |
| 0^0 | si passa al logaritmo, e^(g·ln f), e si studia il prodotto g·ln f (forma 0·∞) |
| ∞^0 | stessa strada del caso precedente: logaritmo e poi forma 0·∞ |
| Ordine | Funzione | Esempio di rapporto |
|---|---|---|
| 1 | ln x | ln x / x → 0 |
| 2 | x^a (a > 0) | x / x² → 0 |
| 3 | a^x (a > 1) | x¹⁰ / 2ˣ → 0 |
| 4 | x! | 2ˣ / x! → 0 |
| 5 | x^x | x! / xˣ → 0 |
In una forma ∞/∞ vince sempre chi sta più in basso in questa tabella: il rapporto tende a ∞ se il numeratore è di ordine superiore, a 0 se lo è il denominatore.
Calcolare un limite: forme indeterminate e metodi
Il limite descrive dove tende una funzione quando la x si avvicina a un valore, non quanto vale in quel punto. La differenza è tutto: (x²−1)/(x−1) in x = 1 non è definita, eppure il suo limite vale 2. Questo strumento prova prima la sostituzione diretta, poi riconosce la forma indeterminata, applica de l'Hôpital dove è lecito e infine controlla il risultato numericamente da entrambi i lati.
Le sette forme indeterminate
Sono le situazioni in cui la sostituzione diretta non conclude: 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1∞, 00, ∞0. «Indeterminata» non vuol dire «senza risposta»: vuol dire che il risultato dipende da come numeratore e denominatore vanno a zero o a infinito. Lo strumento riconosce la forma leggendo la struttura dell'espressione e te la mostra prima del risultato, perché è la prima cosa che un esercizio chiede di dichiarare.
La regola di de l'Hôpital, con le sue condizioni
Se il limite si presenta nella forma 0/0 oppure ∞/∞, allora lim f(x)/g(x) = lim f′(x)/g′(x), purché il secondo limite esista. Tre avvertenze che valgono metà dei voti persi:
- Si applica solo a 0/0 e ∞/∞. Le altre forme vanno prima riscritte come quoziente (0 · ∞ diventa 0/(1/∞), 1∞ passa per il logaritmo).
- Si derivano numeratore e denominatore separatamente: non è la regola del quoziente.
- Se dopo la derivazione la forma è ancora indeterminata si ripete; ma se il ciclo non migliora, il metodo è quello sbagliato.
Limite destro e limite sinistro
Il limite bilatero esiste solo se i due laterali esistono e coincidono. È la ragione per cui 1/x non ha limite in 0 (−∞ da sinistra, +∞ da destra) e |x|/x nemmeno (−1 e +1). Il modo «Limiti laterali» mostra i due valori affiancati e classifica la discontinuità: eliminabile, di prima specie con salto, di seconda specie con asintoto.
Perché non ci si avvicina «il più possibile»
Sembrerebbe sensato valutare la funzione a 10⁻⁹ dal punto. In aritmetica a virgola mobile è invece il modo migliore per sbagliare: 1 − cos(10⁻⁹) viene arrotondato a zero esatto, quindi (1−cos x)/x² restituisce 0 invece di 1/2. Questo strumento si ferma dove i numeri sono ancora significativi — circa 1,2·10⁻⁵ — e poi accelera la convergenza con l'estrapolazione di Aitken. È il motivo per cui la tabella dei valori si ferma dove si ferma.
Dal decimale al valore esatto
Un calcolatore numerico che scrive 0,9999999 lascia lo studente nel dubbio. Qui il valore stimato viene confrontato con le forme chiuse più comuni — frazioni con denominatore piccolo, multipli di π, di e, di √2, di ln 2 — e se la corrispondenza è netta viene mostrato il simbolo al posto del decimale. Così (1−cos x)/x² restituisce 1/2 e (1+1/x)x restituisce e.
Quando il metodo numerico non basta
Funzioni che oscillano senza fermarsi, come sin(1/x) vicino a zero, non hanno limite e nessun campionamento può inventarlo: lo strumento lo segnala invece di restituire un numero a caso. Per dimostrazioni formali, sviluppi di Taylor e confronti fra infiniti resta indispensabile il ragionamento simbolico.
Dove la stima corrisponde a una forma chiusa nota lo strumento la scrive come tale: 1/2, e, π/2, invece di un decimale con sette nove. Con i quattro modi in alto passi al limite sinistro e destro, alla tabella dei limiti notevoli e alla ricerca degli asintoti.
Come si calcola il limite di una funzione?
Prima si prova la sostituzione diretta: se f(x₀) è un numero, quello è il limite. Se esce una forma indeterminata (0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1^∞, 0^0, ∞^0) bisogna trasformare l'espressione: scomporre e semplificare il fattore comune, razionalizzare, raccogliere la potenza di grado massimo, riconoscere un limite notevole oppure applicare la regola di de l'Hôpital, che vale solo per 0/0 e ∞/∞ e deriva numeratore e denominatore separatamente. Il limite bilatero esiste solo se il limite sinistro e quello destro esistono e coincidono. Questo strumento esegue la sequenza completa e mostra sia la forma indeterminata sia i passaggi che portano al valore.
Come calcolare un limite in forma indeterminata
Risolvi un limite 0/0 o ∞/∞ con il teorema di de l'Hôpital usando il calcolatore di derivate simboliche.
- 1
Verifica la forma indeterminata
Sostituisci il valore a cui tende x nel numeratore e nel denominatore: se ottieni 0/0 oppure ∞/∞, puoi applicare il teorema di de l'Hôpital.
- 2
Deriva il numeratore
Seleziona la modalità Derivata e digita f(x) nel campo, ad esempio sin(x), usando la sintassi con *, ^ e le funzioni sin, cos, exp, ln, sqrt; annota f'(x).
- 3
Deriva il denominatore
Ripeti l'operazione inserendo g(x), per esempio x: il risultato è g'(x) = 1. Il calcolatore applica automaticamente le regole di prodotto, quoziente e catena.
- 4
Valuta il rapporto delle derivate
Calcola il limite di f'(x)/g'(x) sostituendo il valore: per sin(x)/x ottieni cos(0)/1 = 1. Se la forma resta indeterminata, deriva un'altra volta.