Mediana

Mediana: che cos'è e perché spesso conta più della media

La mediana è il valore che si trova esattamente a metà di una serie ordinata: metà delle osservazioni le sta sotto, metà sopra. È una definizione di posizione, non di somma, e questo la rende insensibile a quanto sono estremi i valori alle due estremità. Se in una classe di dieci studenti nove prendono 6 e uno prende 10, la media sale a 6,4 mentre la mediana resta 6: è la mediana a dire come è andata «di solito».

Come si calcola, passo per passo

1. Si ordinano i valori dal più piccolo al più grande. È il passaggio che quasi tutti dimenticano, e senza il quale il risultato è privo di senso.
2. Se le osservazioni sono dispari, la mediana è il valore in posizione (n + 1) / 2.
3. Se sono pari, non esiste un valore centrale unico: la mediana è la media aritmetica dei due valori nelle posizioni n/2 e n/2 + 1, e può risultare un numero che nella serie non compare.

Su 4; 7; 8; 8; 9; 12; 15; 16; 19; 42 le osservazioni sono dieci, quindi la mediana è la media del quinto e del sesto valore: (9 + 12) / 2 = 10,5. La media aritmetica della stessa serie è 14, cioè quasi il 33% più alta, e la differenza è tutta colpa del 42.

Media, mediana o moda: quale scegliere

• Media aritmetica — usa tutti i dati ed è la base di quasi tutta la statistica inferenziale, ma basta un valore estremo per spostarla. Adatta a distribuzioni simmetriche e senza anomalie.
• Mediana — robusta: cambiare il valore più alto da 42 a 4.200 non la sposta di un millimetro. È l'indice giusto per redditi, prezzi delle case, tempi di attesa, tutte grandezze con code lunghe a destra.
• Moda — il valore più frequente. È l'unico indice utilizzabile su dati qualitativi (il colore più venduto, la taglia più richiesta) e può non esistere o essere multipla.

Il confronto fra media e mediana è già di per sé un'informazione: se la media è molto più alta della mediana la distribuzione ha una coda a destra, se è più bassa la coda è a sinistra, se coincidono la distribuzione è simmetrica. Lo strumento fa questo confronto al posto tuo e dice quale dei due indici rappresenta meglio i tuoi dati.

Quartili: perché il tuo risultato non coincide con quello del libro

Il primo quartile Q1 lascia sotto di sé il 25% dei dati, il terzo quartile Q3 il 75%. Fin qui l'accordo è totale. Il problema nasce nel come si individuano quei punti quando non cadono esattamente su un'osservazione, e le convenzioni in circolazione sono almeno tre:

• Mediane delle metà, mediana esclusa — si divide la serie ordinata a metà e, se le osservazioni sono dispari, si scarta il valore centrale. È il metodo insegnato nella maggior parte dei libri italiani.
• Cardini di Tukey, mediana inclusa — come sopra, ma il valore centrale entra in entrambe le metà. Dà quartili leggermente più vicini fra loro.
• Interpolazione lineare — si calcola la posizione (n − 1) · p e si interpola fra i due valori vicini. È quello che fa QUARTILE.INC nei fogli di calcolo e il default di molti linguaggi.

Su 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 il primo metodo dà Q1 = 3 e il terzo Q1 = 3,25: nessuno dei due è sbagliato, sono convenzioni diverse. Per questo la tabella dello strumento mostra tutti e tre i risultati insieme, così puoi scegliere quello che corrisponde al metodo del tuo corso.

Range interquartile e valori anomali

L'IQR (Q3 − Q1) è l'ampiezza della fascia che contiene il 50% centrale dei dati ed è la misura di dispersione più robusta che esista: come la mediana, non si accorge di quanto sono lontani i valori estremi. Da qui nasce il criterio di Tukey per i valori anomali: è sospetto tutto ciò che sta sotto Q1 − 1,5 × IQR o sopra Q3 + 1,5 × IQR, ed è anomalo in modo estremo tutto ciò che supera i tre IQR. Il box plot disegna esattamente questo: una scatola da Q1 a Q3, una linea sulla mediana, i baffi fino all'ultimo dato dentro il recinto e un punto per ogni valore fuori.

Deviazione standard: n oppure n − 1?

Dipende da che cosa sono i tuoi dati. Se hai misurato tutti gli individui di interesse (i voti di quella specifica classe, l'altezza di tutti i dipendenti dell'azienda) stai descrivendo una popolazione e si divide per n. Se i dati sono un campione con cui vuoi dire qualcosa di un insieme più grande, si divide per n − 1: la correzione di Bessel compensa il fatto che gli scarti sono calcolati rispetto alla media del campione e non a quella, ignota, della popolazione. La differenza è tanto più grande quanto è piccolo il campione, e si assottiglia rapidamente oltre le trenta osservazioni.

Errori tipici

• Calcolare la mediana senza ordinare i dati. È la causa numero uno di risultati sbagliati.
• Prendere il valore centrale anche con n pari. Con un numero pari di osservazioni la mediana è la media dei due centrali.
• Dire che la moda è il valore più alto. La moda è il più frequente, non il più grande.
• Usare la media su dati con code lunghe. Il reddito medio e il reddito mediano raccontano due storie diverse, e la seconda descrive meglio la persona tipica.
• Confrontare deviazioni standard di grandezze diverse. Per farlo serve il coefficiente di variazione, che rapporta la deviazione standard alla media e quindi è un numero puro.