Potenze

Radici e potenze: due modi di dire la stessa cosa

Elevare a potenza e estrarre una radice sono operazioni inverse. bⁿ = a si legge «b elevato a n fa a»; la stessa relazione, letta dall'altra parte, dice che ⁿ√a = b, cioè che b è la radice n-esima di a. Per questo un unico strumento le tratta entrambe: cambia solo quale delle tre quantità stai cercando.

Il ponte fra le due scritture è l'esponente frazionario: ⁿ√a = a^1/n. È la forma che serve su qualunque calcolatrice senza tasto radice: per la radice quinta di 243 si digita 243^(1/5) e si ottiene 3.

Radice quadrata, cubica, n-esima

• Radice quadrata (indice 2): √81 = 9 perché 9² = 81. Nei numeri reali esiste solo per radicandi maggiori o uguali a zero, e per convenzione indica il valore non negativo: √81 è 9, non ±9. Il doppio segno compare quando si risolve l'equazione x² = 81, che ha due soluzioni.
• Radice cubica (indice 3): ∛27 = 3, e funziona anche con i negativi, perché (−3)³ = −27. Quindi ∛(−27) = −3.
• Indice pari (2, 4, 6…): definita solo per radicandi non negativi. Nessun numero reale moltiplicato per sé stesso un numero pari di volte dà un risultato negativo.
• Indice dispari (3, 5, 7…): definita per qualunque numero reale, segno compreso.

Semplificare un radicale: la forma esatta

Scrivere √72 ≈ 8,485281 è un'approssimazione; scrivere √72 = 6√2 è esatto. Il procedimento è sempre lo stesso: si scompone il radicando in fattori primi, poi ogni esponente si divide per l'indice. Il quoziente dice con che esponente il fattore esce dalla radice, il resto dice che cosa rimane dentro.

Su 72 = 2³ × 3² con indice 2: il 2 ha esponente 3, cioè 3 : 2 = 1 con resto 1 (esce un 2, resta un 2); il 3 ha esponente 2, cioè 2 : 2 = 1 con resto 0 (esce un 3, non resta niente). Fuori restano 2 × 3 = 6, dentro resta 2: √72 = 6√2. La tabella dello strumento mostra questa divisione fattore per fattore.

C'è un secondo passaggio che quasi nessun calcolatore fa: la riduzione dell'indice. Se l'indice e tutti gli esponenti hanno un divisore comune, l'indice si abbassa. ⁶√8 = ⁶√(2³): il MCD fra 6 e 3 è 3, quindi l'indice scende da 6 a 2 e il risultato è semplicemente √2. Anche questo è esatto, non approssimato.

Esponenti negativi e frazionari

• Esponente zero: b⁰ = 1 per qualunque base diversa da zero. Non è una convenzione arbitraria: deriva da bⁿ : bⁿ = bⁿ⁻ⁿ = b⁰, e un numero diviso sé stesso fa 1.
• Esponente negativo: b⁻ⁿ = 1/bⁿ. Quindi 10⁻³ = 1/1000 = 0,001 e 2⁻⁵ = 1/32 = 0,03125. Il segno meno non rende negativo il risultato: lo ribalta, facendone il reciproco.
• Esponente frazionario: b^p/q = ^q√(bᵖ) = (^q√b)ᵖ. Il denominatore è l'indice della radice, il numeratore la potenza. Così 8^2/3 = (∛8)² = 2² = 4, un risultato esatto che nessun arrotondamento può migliorare.
• Base negativa: con esponente intero pari il risultato è positivo ((−2)⁴ = 16), con esponente dispari resta negativo ((−2)³ = −8). Con esponente frazionario di denominatore pari non esiste nei reali.

Le proprietà delle potenze

• aᵐ · aⁿ = a^m+n — stessa base, esponenti che si sommano.
• aᵐ : aⁿ = a^m−n — stessa base, esponenti che si sottraggono.
• (aᵐ)ⁿ = a^m·n — potenza di potenza, esponenti che si moltiplicano.
• aⁿ · bⁿ = (a·b)ⁿ — stesso esponente, basi che si moltiplicano.
• ⁿ√(a·b) = ⁿ√a · ⁿ√b e ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b (con b ≠ 0).
• ⁿ√(ᵐ√a) = ^n·m√a — radice di radice: gli indici si moltiplicano.
• Attenzione all'errore più diffuso: √(a + b) non è √a + √b. √(9 + 16) = √25 = 5, mentre √9 + √16 = 3 + 4 = 7. La radice si distribuisce sui prodotti, non sulle somme.

Perché qui le cifre non si perdono

Una calcolatrice normale lavora in virgola mobile e conserva circa 16 cifre significative. 2¹⁰⁰ diventa 1,2676506002282294 × 10³⁰: le ultime quattordici cifre sono sparite. Il valore esatto è 1.267.650.600.228.229.401.496.703.205.376, e con base ed esponente interi questo strumento lo mostra per intero, perché il conto è fatto in aritmetica intera esatta. Allo stesso modo un esponente negativo su base intera restituisce la frazione esatta (2⁻⁵ = 1/32) invece del solo decimale.

Numeri irrazionali

Quando il radicando non è una potenza perfetta il risultato è irrazionale: non si può scrivere come frazione e le sue cifre decimali non finiscono né si ripetono. È il caso di √2 ≈ 1,4142135624, √3 ≈ 1,7320508076, √5 ≈ 2,2360679775, √10 ≈ 3,1622776602. La dimostrazione che √2 è irrazionale è una delle più antiche della matematica e si attribuisce alla scuola pitagorica. Per questi numeri la forma esatta è proprio il radicale semplificato: 6√2 è il valore di √72, mentre 8,485281 ne è solo un'approssimazione.

Quadrati, cubi e radici da ricordare

• Quadrati perfetti: 121 = 11², 144 = 12², 169 = 13², 196 = 14², 225 = 15², 256 = 16², 625 = 25².
• Cubi perfetti: 125 = 5³, 216 = 6³, 343 = 7³, 512 = 8³, 729 = 9³, 1.000 = 10³.
• Potenze di 2: 2¹⁰ = 1.024, 2²⁰ = 1.048.576 (circa un milione), 2³⁰ ≈ un miliardo.
• Radicali che tornano spesso: √8 = 2√2, √12 = 2√3, √18 = 3√2, √50 = 5√2, √75 = 5√3, √98 = 7√2.

Dove servono davvero

• Geometria: il teorema di Pitagora dà l'ipotenusa come √(a² + b²); la diagonale di un quadrato di lato 1 è √2, un numero irrazionale che si incontra al primo disegno.
• Finanza: il tasso medio annuo di un investimento cresciuto da C a M in n anni è ⁿ√(M/C) − 1. Una crescita del 55,97 % in 18 anni equivale a 1,5597^1/18 − 1, cioè circa il 2,5 % l'anno.
• Statistica: la deviazione standard è la radice quadrata della varianza — la radice serve proprio a riportare il risultato all'unità di misura dei dati.
• Informatica: le potenze di 2 misurano memoria e indirizzi; 2³² è il numero di indirizzi IPv4, cioè 4.294.967.296.
• Fisica: il periodo del pendolo è 2π√(L/g) e la velocità di caduta libera è √(2gh): le radici compaiono ogni volta che si inverte una legge quadratica.