Scomposizione in fattori primi
Scompone un numero in fattori primi (teorema fondamentale dell'aritmetica), indicando se è primo e il numero di divisori.
Il tuo calcolo
Modifica i dati e confronta360 = 2^3 × 3^2 × 5
Scomposizione in fattori primi
La scomposizione in fattori primi esprime un numero intero come prodotto di soli numeri primi. Per il teorema fondamentale dell'aritmetica questa fattorizzazione è unica (a meno dell'ordine).
Cos'è un numero primo
Un numero primo è divisibile solo per 1 e per sé stesso (2, 3, 5, 7, 11, 13…). Il 2 è l'unico primo pari. L'1 non è considerato primo.
Come si scompone
- Si divide il numero per il più piccolo primo possibile (2, poi 3, 5, 7…).
- Si ripete sul quoziente finché si arriva a 1.
- Si raccolgono i fattori in forma di potenze: es. 360 = 2³ × 3² × 5.
Criteri di divisibilità utili
- per 2: numero pari.
- per 3: somma delle cifre divisibile per 3.
- per 5: termina con 0 o 5.
- per 9: somma delle cifre divisibile per 9.
- per 11: differenza alternata delle cifre divisibile per 11.
Applicazioni
- Calcolo di MCD e mcm.
- Semplificazione di frazioni e radicali.
- Crittografia RSA: la sicurezza si basa sulla difficoltà di fattorizzare numeri molto grandi.
- Conteggio dei divisori: prodotto di (esponente + 1) per ogni fattore.
Strumento didattico con algoritmo di trial division: per numeri molto grandi (centinaia di cifre) la fattorizzazione è computazionalmente onerosa — è proprio questo a rendere sicura la crittografia.
Come si scompone un numero in fattori primi?
Si divide il numero per il più piccolo primo possibile (2, 3, 5, 7…) e si ripete sul quoziente fino ad arrivare a 1, raccogliendo i fattori in potenze. Esempio: 360 = 2³ × 3² × 5. La fattorizzazione è unica (teorema fondamentale dell'aritmetica).