Sistema di equazioni 2×2
Risolve un sistema lineare 2×2 con il metodo di Cramer: soluzione unica, sistema impossibile o indeterminato in base al determinante.
Il tuo calcolo
Modifica i dati e confrontaSistema: a·x + b·y = c (due equazioni)
x = 1 · y = 2
Determinante = -5 (≠ 0 → sistema determinato)
Sistema di equazioni lineari 2×2
Un sistema lineare di due equazioni in due incognite cerca i valori di x e y che soddisfano entrambe le equazioni. Geometricamente: il punto di intersezione di due rette.
Il metodo di Cramer
Si calcola il determinante della matrice dei coefficienti: D = a₁b₂ − a₂b₁. Se D ≠ 0 la soluzione è unica: x = Dx/D, y = Dy/D, dove Dx e Dy si ottengono sostituendo la colonna dei termini noti.
I tre casi possibili
- Determinato (D ≠ 0): una sola soluzione, rette incidenti.
- Impossibile (D = 0, sistema incompatibile): nessuna soluzione, rette parallele distinte.
- Indeterminato (D = 0, equazioni proporzionali): infinite soluzioni, rette coincidenti.
Altri metodi di risoluzione
- Sostituzione: si ricava un'incognita e si sostituisce nell'altra equazione.
- Riduzione (somma/sottrazione): si combinano le equazioni per eliminare un'incognita.
- Grafico: si disegnano le due rette e si legge l'intersezione.
Applicazioni
I sistemi lineari modellano problemi di miscele, costi e ricavi, equilibri fisici, circuiti elettrici (leggi di Kirchhoff) e moltissimi problemi pratici a più variabili.
Strumento didattico: risultati arrotondati a 4 decimali. Per sistemi più grandi si usano l'eliminazione di Gauss o il calcolo matriciale.
Come si risolve un sistema di due equazioni?
Con il metodo di Cramer si calcola il determinante D = a₁b₂ − a₂b₁. Se D ≠ 0 c'è soluzione unica (x = Dx/D, y = Dy/D); se D = 0 il sistema è impossibile (rette parallele) o indeterminato (rette coincidenti). Alternative: sostituzione e riduzione.