Derivate
Scrivi f(x) e ottieni la derivata già semplificata, insieme alla tabella delle regole applicate pezzo per pezzo: potenza, linearità, prodotto, quoziente e catena.
Il tuo calcolo
Modifica i dati e confrontaOperatori + − * / ^ · funzioni sin cos tan exp ln log sqrt arcsin arctan abs · costanti pi e e. ln è il logaritmo naturale, log quello in base 10. Il prodotto implicito (3x, 2(x+1)) è accettato.
6 · x + 2
f(x) = 3 · x² + 2 · x − 5
Valore della derivata
f′(2) = 14
Punto sulla curva
(2; 11)
Retta tangente in x₀
y = 14x − 17
Prova del nove (verifica numerica)
Il rapporto incrementale simmetrico [f(x₀+h) − f(x₀−h)] / 2h con h = 0,00001 vale 14, la derivata simbolica in x₀ vale 14: scarto 2.9e-12 — le due strade coincidono, il risultato simbolico è confermato.
Passaggi: quale regola si applica dove
| Regola | Sotto-espressione | Sua derivata |
|---|---|---|
| linearità (somma e differenza) | 3 · x² + 2 · x − 5 | 6 · x + 2 |
| linearità (somma e differenza) | 3 · x² + 2 · x | 6 · x + 2 |
| costante per funzione (linearità) | 3 · x² | 6 · x |
| regola della potenza | x² | 2 · x |
| costante per funzione (linearità) | 2 · x | 2 |
| x | f(x) | f′(x) | andamento |
|---|---|---|---|
| 0,5 | -3,25 | 5 | cresce ↗ |
| 1 | 0 | 8 | cresce ↗ |
| 1,5 | 4,75 | 11 | cresce ↗ |
| 2 | 11 | 14 | cresce ↗ |
| 2,5 | 18,75 | 17 | cresce ↗ |
| 3 | 28 | 20 | cresce ↗ |
| 3,5 | 38,75 | 23 | cresce ↗ |
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| k (costante) | 0 |
| x | 1 |
| xⁿ | n · xⁿ⁻¹ |
| √x | 1 / (2√x) |
| 1/x | −1 / x² |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ · ln a |
| ln x | 1 / x |
| log x (base 10) | 1 / (x · ln 10) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tan x | 1 / cos²x |
| arcsin x | 1 / √(1 − x²) |
| arctan x | 1 / (1 + x²) |
Come si calcola una derivata, regola per regola
Derivare significa misurare quanto velocemente cambia una funzione. La definizione è il limite del rapporto incrementale, ma nella pratica non si usa quasi mai: si applicano le regole, e ogni espressione si scompone fino ad arrivare alle derivate elementari. Lo strumento fa esattamente questo e mostra, riga per riga, quale regola sta applicando a quale pezzo dell'espressione.
Le cinque regole che servono davvero
- Potenza:
d/dx xⁿ = n · xⁿ⁻¹. Vale per ogni esponente reale, non solo per gli interi: la derivata di√x = x^(1/2)è(1/2)·x^(−1/2) = 1/(2√x). - Linearità:
(f + g)′ = f′ + g′e(k·f)′ = k·f′. Le costanti moltiplicative restano dove sono, le costanti additive spariscono. - Prodotto:
(f·g)′ = f′·g + f·g′. L'errore classico è scriveref′·g′: è sbagliato, basta provare conx·x(derivata 2x, non 1). - Quoziente:
(f/g)′ = (f′·g − f·g′) / g². Attenzione all'ordine: il numeratore non è simmetrico. - Catena:
[f(g(x))]′ = f′(g(x)) · g′(x). È la regola che si dimentica più spesso: la derivata disin(3x)è3·cos(3x), noncos(3x).
La prova del nove
Ogni volta che indichi un punto x₀, lo strumento calcola la derivata in due modi indipendenti: per via simbolica (applicando le regole) e per via numerica, con il rapporto incrementale simmetrico [f(x₀+h) − f(x₀−h)] / 2h. Se i due numeri coincidono il risultato è confermato; se divergono vuol dire che in quel punto la funzione non è derivabile — uno spigolo come in |x|, un asintoto come in 1/x, un punto fuori dal dominio. È un controllo che i calcolatori simbolici di solito non mostrano, e che in un compito vale quanto il risultato.
Derivate di ordine superiore
La derivata seconda è la derivata della derivata prima e racconta la concavità: dove f″ > 0 il grafico volge la concavità verso l'alto, dove f″ < 0 verso il basso, e dove f″ cambia segno c'è un flesso. In fisica la successione è immediata: posizione → velocità → accelerazione. Lo strumento arriva fino alla derivata quarta.
Retta tangente
La derivata in x₀ è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico in quel punto. Dalla coppia (x₀, f(x₀)) e da m = f′(x₀) si ottiene l'equazione y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀), che lo strumento riscrive già in forma esplicita y = mx + q.
Errori che il calcolatore ti aiuta a evitare
d/dx (eˣ) = eˣ, mad/dx (xᵉ) = e·xᵉ⁻¹: guarda sempre dove sta la x.d/dx (aˣ) = aˣ · ln a: il fattoreln asi dimentica quasi sempre.- Con
login base 10 la derivata è1/(x·ln 10), non1/x: questa pagina distinguelndalog. - Nelle funzioni composte annidate (per esempio
sin(ln(x²+1))) la catena si applica a ogni livello: la tabella dei passaggi mostra un livello per ogni rientro.
A che cosa serve fuori dai compiti
- Studio di funzione: f′ per crescita e punti stazionari, f″ per concavità e flessi.
- Fisica: velocità e accelerazione come derivate prima e seconda dello spazio.
- Economia: costo marginale e ricavo marginale sono derivate delle rispettive funzioni totali.
- Ottimizzazione: qualunque problema di massimo o minimo passa da f′(x) = 0 — c'è il modo dedicato qui sopra.
Puoi chiedere la derivata seconda, terza o quarta, il valore in un punto preciso e l'equazione della retta tangente in quel punto. Ogni risultato puntuale viene ricontrollato con il rapporto incrementale simmetrico: se le due strade non coincidono, lì la funzione non è derivabile e lo strumento lo dice.
Come si calcola la derivata di una funzione?
Si scompone l'espressione e a ogni pezzo si applica la regola corrispondente: la potenza (xⁿ diventa n·xⁿ⁻¹), la linearità (la derivata di una somma è la somma delle derivate e le costanti moltiplicative restano fuori), il prodotto (f·g)′ = f′·g + f·g′, il quoziente (f/g)′ = (f′·g − f·g′)/g² e la catena [f(g(x))]′ = f′(g(x))·g′(x). Le derivate elementari — sin, cos, eˣ, ln x, √x — si leggono a memoria dalla tabella. Questo strumento esegue la scomposizione, mostra quale regola ha usato su ogni singolo termine e poi verifica il risultato in un punto con il rapporto incrementale, così l'esito non è da prendere sulla fiducia.
Avvertenza
Il risultato è una stima basata su parametri standard e non rappresenta un calcolo ufficiale. Per importi vincolanti consulta i canali ufficiali (Agenzia delle Entrate, INPS, banca) o un commercialista o CAF.
Come calcolare la derivata di una funzione online
Pochi passaggi per ottenere la derivata simbolica f'(x) o l'integrale elementare di una funzione.
- 1
Scegli la modalità
Con i due pulsanti in alto seleziona "Derivata f'(x)" per la derivata simbolica oppure "∫ Integrale" per la primitiva elementare con costante + C.
- 2
Inserisci la funzione f(x)
Digita l'espressione nel campo, ad esempio 3*x^2 + 2*x - 5 oppure ln(x^2 + 1), usando gli operatori + − * / ^, le funzioni sin, cos, tan, exp, ln, sqrt e le costanti pi ed e. In alternativa clicca uno degli esempi pronti.
- 3
Leggi il risultato
Il risultato appare immediatamente nel riquadro: f'(x) già semplificata nei termini banali, oppure la primitiva + C; sotto è riportata la funzione così come è stata interpretata.
- 4
Verifica con la tabella
Consulta la tabella delle derivate e degli integrali elementari in fondo allo strumento per controllare i passaggi quando rifai l'esercizio a mano.