Matematica e Geometria

Minimo

Qui si cercano i punti di massimo e di minimo di una funzione: lo strumento calcola f′(x), trova dove si annulla nell'intervallo indicato e classifica ogni punto stazionario con il segno di f″(x).

Il tuo calcolo

Modifica i dati e confronta

Funzione f(x)

Cerca da x =

fino a x =

2 punti stazionari trovati

massimo

x = -1

f(x) = 2 · f″(x) = -6

minimo

x = 1

f(x) = -2 · f″(x) = 6

f′(x)

3 · x² − 3

f″(x)

6 · x

Minimo assoluto su [-4; 4]

f(-4) = -52

raggiunto sul bordo dell'intervallo, non in un punto stazionario

Massimo assoluto su [-4; 4]

f(4) = 52

raggiunto sul bordo dell'intervallo, non in un punto stazionario

Intervalli di crescita e decrescita
Intervallo	Segno di f′(x)	Andamento
(-4 ; -1)	positivo	f cresce ↗
(-1 ; 1)	negativo	f decresce ↘
(1 ; 4)	positivo	f cresce ↗

Concavità: segno di f″(x)
Intervallo	Segno di f″(x)	Concavità
(-4 ; 0)	negativo	rivolta verso il basso ∩
(0 ; 4)	positivo	rivolta verso l'alto ∪

Punti di flesso: x = 0 (f = 0, pendenza -3)

Linea piena: f(x) · linea tratteggiata: f′(x) · x da -4 a 4. La scala verticale ignora il 3% di valori estremi per non farsi schiacciare dagli asintoti.

Tabella delle derivate fondamentali
f(x)	f′(x)
k (costante)	0
x	1
xⁿ	n · xⁿ⁻¹
√x	1 / (2√x)
1/x	−1 / x²
eˣ	eˣ
aˣ	aˣ · ln a
ln x	1 / x
log x (base 10)	1 / (x · ln 10)
sin x	cos x
cos x	−sin x
tan x	1 / cos²x
arcsin x	1 / √(1 − x²)
arctan x	1 / (1 + x²)

Massimi e minimi di una funzione: il metodo completo

Trovare i punti di massimo e di minimo di una funzione è il cuore di ogni problema di ottimizzazione: il costo più basso, il ricavo più alto, la traiettoria più corta. Il metodo standard è in tre mosse — si deriva, si annulla la derivata, si studia la natura dei punti trovati — e questo strumento le esegue tutte e tre mostrando i risultati intermedi.

I tre passaggi

Calcola f′(x). Sono i punti in cui la tangente è orizzontale a interessarci.
Risolvi f′(x) = 0: le soluzioni sono i punti stazionari (o critici). Lo strumento li cerca numericamente nell'intervallo che indichi, per cambio di segno e successiva bisezione: funziona anche quando l'equazione non si risolve a mano.
Classifica ogni punto con f″(x): se f″(x₀) > 0 il punto è un minimo (concavità verso l'alto), se f″(x₀) < 0 è un massimo. Se f″(x₀) = 0 il test non decide e si guarda il segno di f′ prima e dopo il punto: se non cambia, è un flesso a tangente orizzontale — è il caso di x³ in 0.

Stazionario non vuol dire estremo

Tutti i punti di massimo o minimo interni a un intervallo, per una funzione derivabile, sono stazionari; ma non tutti i punti stazionari sono estremi. x³ ha f′(0) = 0 e in 0 non ha né massimo né minimo. È la ragione per cui il secondo passaggio non basta mai da solo e il terzo non si può saltare.

Estremi relativi ed estremi assoluti

Un massimo relativo è il punto più alto del suo vicinato; il massimo assoluto è il punto più alto di tutto l'intervallo considerato. Su un intervallo chiuso [a, b] il teorema di Weierstrass garantisce che entrambi esistano, e i candidati sono soltanto due categorie: i punti stazionari interni e i due estremi a e b. Lo strumento confronta tutti i candidati e dice esplicitamente quando il record è sul bordo — la svista più frequente nei compiti di ottimizzazione.

Crescita, decrescita e segno di f′

Fra due punti stazionari consecutivi il segno di f′ non cambia: basta un valore di prova per stabilire se la funzione cresce o decresce su tutto l'intervallo. La tabella della monotonia qui sopra è costruita così, ed è la stessa che si chiede in un classico studio di funzione.

Punti non derivabili e bordi

Il metodo di f′ = 0 vede solo i punti in cui la derivata esiste e vale zero. Una funzione come |x| ha il minimo in 0, dove la derivata non esiste: un punto angoloso non compare fra i punti stazionari. Se il grafico mostra un minimo evidente che non è nell'elenco, quasi sempre la spiegazione è questa. Lo stesso vale per i punti esclusi dal dominio: 1/x non ha estremi, ma cambia comportamento attorno a 0.

Esempi da verificare

x² − 4x + 3: f′ = 2x − 4 si annulla in x = 2, f″ = 2 > 0 → minimo, f(2) = −1.
x³ − 3x: f′ = 3x² − 3 si annulla in ±1; f″ = 6x dà massimo in −1 (y = 2) e minimo in +1 (y = −2).
x + 1/x per x > 0: minimo in x = 1 con f(1) = 2, risultato che compare in molti problemi di costo medio minimo.
e^(−x²): massimo in 0 con f(0) = 1, la campana di Gauss.

Oltre agli estremi relativi ottieni la tabella di crescita e decrescita, la concavità con gli eventuali flessi e il minimo e il massimo assoluti sull'intervallo chiuso, con l'avviso esplicito quando il record cade su un estremo dell'intervallo invece che in un punto stazionario.

Come si trovano il minimo e il massimo di una funzione?

In tre passaggi. Primo: si calcola la derivata f′(x). Secondo: si risolve l'equazione f′(x) = 0, le cui soluzioni sono i punti stazionari, quelli in cui la tangente al grafico è orizzontale. Terzo: si stabilisce la natura di ciascuno con la derivata seconda, perché f″(x₀) > 0 significa minimo (concavità verso l'alto), f″(x₀) < 0 significa massimo e f″(x₀) = 0 obbliga a guardare come cambia il segno di f′ attorno al punto — è il caso di x³ in 0, che non è né l'uno né l'altro. Se l'intervallo è chiuso vanno confrontati anche i valori agli estremi: il massimo assoluto può cadere sul bordo senza essere un punto stazionario.

Come calcolare il limite di una funzione

Inserire l'espressione f(x) e il punto di tendenza per ottenere il valore numerico del limite e i limiti laterali.

1
Inserire l'espressione f(x)
Nel campo «f(x) =» digitare la funzione in notazione matematica, ad esempio sin(x)/x oppure (exp(x)-1)/x. Usare ^ per le potenze e le funzioni sin, cos, tan, exp, ln, sqrt, abs, arcsin, arctan.
2
Specificare il punto di tendenza
Nel campo «x →» inserire il valore di tendenza: un numero finito (es. 0, 2.5, -1), inf per +∞ oppure -inf per −∞. La virgola viene accettata come separatore decimale.
3
Leggere il risultato e i limiti laterali
Il calcolatore mostra il valore stimato del limite. Per punti finiti visualizza anche limite sinistro e destro separatamente; se differiscono di più di 0,001 segnala che il limite bilatero non esiste.
4
Verificare con i limiti notevoli
Cliccare una riga nella tabella dei limiti notevoli — sin(x)/x, (1-cos(x))/x², (eˣ-1)/x, ln(1+x)/x, (1+1/x)ˣ e altri — per caricare automaticamente formula e punto nel calcolatore e vedere la sequenza di convergenza.

Domande frequenti

Un punto in cui f′(x) = 0 è sempre un massimo o un minimo?

No, ed è l'errore più comune. La funzione x³ ha derivata nulla in x = 0 eppure in quel punto non ha né massimo né minimo: è un flesso a tangente orizzontale. Per questo dopo aver risolto f′(x) = 0 serve sempre il secondo controllo: se f″(x₀) è positiva il punto è un minimo, se è negativa un massimo, se è nulla si guarda come cambia il segno di f′(x) prima e dopo il punto.

Che differenza c'è fra minimo relativo e minimo assoluto?

Il minimo relativo è il punto più basso del suo intorno; il minimo assoluto è il punto più basso di tutto l'intervallo considerato. Su un intervallo chiuso [a, b] i candidati al minimo assoluto sono soltanto due categorie: i punti stazionari interni e i due estremi a e b. Lo strumento li confronta tutti e segnala quando il minimo o il massimo assoluto cade sul bordo, cioè nel caso in cui f′(x) = 0 da sola non lo avrebbe mai trovato.

Perché un minimo che vedo nel grafico non compare fra i punti trovati?

Perché il metodo di f′(x) = 0 vede solo i punti in cui la derivata esiste e vale zero. Il valore assoluto |x| ha il suo minimo in 0, dove però la derivata non esiste: è un punto angoloso, non un punto stazionario. Vale lo stesso per i valori esclusi dal dominio, come lo 0 di 1/x. In questi casi il minimo si legge sul grafico e sulla tabella della monotonia, non dall'equazione f′(x) = 0.

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