Determinante
Scrivi una matrice quadrata da 2×2 a 6×6 e vedi il determinante calcolato in tre modi diversi sulla stessa pagina: la regola di Sarrus con i sei prodotti delle diagonali, lo sviluppo di Laplace lungo la riga o la…
Il tuo calcolo
Modifica i dati e confrontaPuoi scrivere i numeri come interi, con la virgola (2,5) o come frazioni (-3/4). I conti restano esatti: se il risultato è 1/3 lo leggi come 1/3, non come 0,333…
-306
det ≠ 0 → matrice invertibile: righe e colonne sono linearmente indipendenti.
Metodo 1 — Regola di Sarrus (solo 3×3)
Si ricopiano le prime due colonne a destra della matrice e si sommano i prodotti delle tre diagonali che scendono verso destra, sottraendo i prodotti delle tre che scendono verso sinistra.
| Diagonale | Prodotto | Valore |
|---|---|---|
| + a₁₁·a₂₂·a₃₃ | (6) · (-2) · (7) | -84 |
| + a₁₂·a₂₃·a₃₁ | (1) · (5) · (2) | 10 |
| + a₁₃·a₂₁·a₃₂ | (1) · (4) · (8) | 32 |
| − a₁₃·a₂₂·a₃₁ | (1) · (-2) · (2) | -4 |
| − a₁₁·a₂₃·a₃₂ | (6) · (5) · (8) | 240 |
| − a₁₂·a₂₁·a₃₃ | (1) · (4) · (7) | 28 |
| det(A) | -42 − 264 | -306 |
Metodo 2 — Sviluppo di Laplace
Si sceglie una riga o una colonna e si sommano i prodotti di ciascun elemento per il suo complemento algebrico (−1)i+j · det del minore. Vale per qualunque ordine.
| Elemento | Valore | Segno (−1)i+j | det del minore | Contributo |
|---|---|---|---|---|
| a₁₁ | 6 | + | -54 | -324 |
| a₁₂ | 1 | − | 18 | -18 |
| a₁₃ | 1 | + | 36 | 36 |
| Somma dei contributi = det(A) | -306 | |||
Il risultato non dipende dalla riga o dalla colonna scelta: provale tutte, il determinante resta -306.
Metodo 3 — Riduzione di Gauss
Si porta la matrice in forma triangolare con operazioni sulle righe: sommare a una riga un multiplo di un'altra non cambia il determinante, scambiare due righe lo cambia di segno. Alla fine il determinante è il prodotto degli elementi sulla diagonale.
- R2 → R2 − (2/3) · R1
- R3 → R3 − (1/3) · R1
- R3 → R3 − (-23/8) · R2
Matrice triangolare ottenuta
Prodotto della diagonale × segno (+1) = -306
Proprietà verificate su questa matrice
| Proprietà | Valore | Riscontro |
|---|---|---|
| det(Aᵀ) = det(A) | -306 | verificata |
| det(2A) = 23 · det(A) | -2448 | verificata |
| det(A⁻¹) = 1 / det(A) | -1/306 | -1/306 |
Che cosa misura. Il valore assoluto del determinante è il fattore per cui la trasformazione moltiplica le aree (in dimensione 2) o i volumi (in dimensione 3): qui |det| = 306. Il segno dice se la trasformazione conserva l'orientamento (negativo: lo ribalta).
Il determinante di una matrice, spiegato con i conti sotto gli occhi
Il determinante è un numero che si associa a una matrice quadrata e riassume in una cifra sola il comportamento della trasformazione che la matrice rappresenta. Se è diverso da zero la matrice è invertibile e il sistema lineare associato ha una sola soluzione; se è zero le righe sono linearmente dipendenti, l'inversa non esiste e il sistema o è impossibile o ha infinite soluzioni.
Le tre strade per calcolarlo
- Sarrus — solo per le 3×3. Si ricopiano le prime due colonne a destra e si sommano i prodotti delle tre diagonali discendenti, sottraendo quelli delle tre ascendenti. È la via più rapida a mano, ma non funziona per il 4×4: chi prova a estenderla ottiene un numero sbagliato.
- Laplace — vale per qualunque ordine. Si sceglie una riga o una colonna e si sommano i prodotti di ogni elemento per il suo complemento algebrico. Conviene sempre scegliere la riga o la colonna con più zeri, perché ogni zero cancella un intero minore da calcolare.
- Gauss — si riduce la matrice a forma triangolare e si moltiplicano gli elementi della diagonale. È il metodo che usano i calcolatori, perché il costo cresce con n³ invece che con n!.
Formule di base
- Ordine 2:
det = a₁₁·a₂₂ − a₁₂·a₂₁. - Ordine 3 (Sarrus):
det = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃. - Ordine n:
det(A) = Σⱼ (−1)^(i+j) · aᵢⱼ · det(Mᵢⱼ), con Mᵢⱼ il minore ottenuto cancellando riga i e colonna j.
Proprietà che fanno risparmiare tempo
- Una riga (o colonna) tutta di zeri ⇒ det = 0, senza calcoli.
- Due righe uguali o proporzionali ⇒ det = 0.
- Scambiare due righe cambia il segno del determinante.
- Moltiplicare una riga per k moltiplica il determinante per k; moltiplicare tutta la matrice per k lo moltiplica per kⁿ.
- Sommare a una riga un multiplo di un'altra riga non cambia il determinante: è la proprietà su cui si regge il metodo di Gauss.
- Per una matrice triangolare il determinante è il prodotto della diagonale.
det(A · B) = det(A) · det(B)(teorema di Binet) edet(Aᵀ) = det(A).
Che cosa significa geometricamente
In due dimensioni il valore assoluto del determinante è l'area del parallelogramma costruito sui due vettori riga; in tre dimensioni è il volume del parallelepipedo costruito sui tre vettori. Un determinante pari a 0 vuol dire che i vettori sono complanari (o allineati) e la figura si schiaccia: la trasformazione perde una dimensione, ed è esattamente il motivo per cui non si può tornare indietro, cioè non esiste l'inversa. Il segno dice se la trasformazione conserva o ribalta l'orientamento dello spazio.
Errori tipici nei compiti
- Sarrus applicata al 4×4. Non esiste una regola delle diagonali oltre il terzo ordine.
- Segni del complemento algebrico. Il segno è (−1)i+j: sulla prima riga alterna +, −, +, −.
- Dividere una riga durante Gauss senza correggere. Dividere una riga per k divide il determinante per k: se si usa quella mossa va compensata alla fine.
- Confondere determinante e rango. Il determinante esiste solo per le matrici quadrate; il rango è definito per qualunque matrice.
Scrivi una matrice quadrata da 2×2 a 6×6 e vedi il determinante calcolato in tre modi diversi sulla stessa pagina: la regola di Sarrus con i sei prodotti delle diagonali, lo sviluppo di Laplace lungo la riga o la colonna che scegli tu e la riduzione di Gauss con la cronaca di ogni operazione sulle righe. Sotto trovi le proprietà verificate sui tuoi numeri e la regola di Cramer per risolvere subito il sistema A · x = b.
Come si calcola il determinante di una matrice 3×3?
Con la regola di Sarrus si ricopiano le prime due colonne a destra della matrice, si sommano i prodotti delle tre diagonali che scendono verso destra e si sottraggono i prodotti delle tre che scendono verso sinistra: det = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃. Sulla matrice ((6, 1, 1), (4, −2, 5), (2, 8, 7)) le tre diagonali positive danno −84 + 10 + 32 = −42 e le tre negative −4 + 240 + 28 = 264, quindi det = −42 − 264 = −306. Lo stesso numero si ottiene sviluppando con Laplace lungo la prima riga (−324 − 18 + 36 = −306) oppure riducendo a forma triangolare con Gauss e moltiplicando la diagonale: 6 · (−8/3) · (153/8) = −306.
Come calcolare il determinante e l'inversa di una matrice
Inserisci gli elementi della matrice 2×2 o 3×3 e ottieni subito determinante, inversa, trasposta e traccia.
- 1
Scegli la dimensione
Seleziona 'Matrice 2×2' o 'Matrice 3×3' usando i pulsanti in cima al calcolatore per attivare la griglia di input corrispondente.
- 2
Inserisci gli elementi
Digita i valori numerici nelle celle con etichette a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂ (e le celle aggiuntive per la 3×3). I campi vuoti sono trattati come zero.
- 3
Leggi il determinante e la traccia
I risultati principali appaiono immediatamente: il determinante nella scheda viola, la traccia nella scheda blu, e l'indicatore 'Invertibile' o 'Singolare' nella terza scheda.
- 4
Controlla la matrice inversa
Se det ≠ 0, il calcolatore mostra la griglia di A⁻¹ con i valori arrotondati a 4 cifre decimali; in caso di matrice singolare la sezione inversa non compare.
- 5
Consulta trasposta e multiplo scalare
Scorri verso il basso per vedere la trasposta Aᵀ e il multiplo scalare 2·A. Per le matrici 2×2 è disponibile anche il quadrato A² = A·A, utile per esercizi di algebra lineare.