Astrologia

Matrice

Inserisci una matrice fino a 6×6 e ottieni in un colpo solo rango, traccia, determinante, trasposta, forma a scalini ridotta e inversa, con la verifica A · A⁻¹ = I stampata accanto.

Il tuo calcolo

Modifica i dati e confronta

Puoi scrivere i numeri come interi, con la virgola (2,5) o come frazioni (-3/4). I conti restano esatti: se il risultato è 1/3 lo leggi come 1/3, non come 0,333…

Righe di A

Colonne di A

Matrice A (3×3)

Determinante

-85

Rango

rango pieno

Traccia

somma della diagonale

Invertibile

Sì

det ≠ 0

Trasposta Aᵀ (3×3)

Righe e colonne scambiate: l'elemento in posizione (i, j) finisce in (j, i).

-1

-2

Forma a scalini ridotta (Gauss-Jordan)

È la matrice più semplice che si ottiene da A con sole operazioni sulle righe. Il numero di righe non nulle è il rango: 3. Colonne dei pivot: 1, 2, 3.

Nullità (dimensione del nucleo) = colonne − rango = 3 − 3 = 0.

Matrice inversa A⁻¹

Ottenuta riducendo [A | I] a [I | A⁻¹]. Sotto, la verifica A · A⁻¹ = I.

A⁻¹

2/17

-4/85

13/85

-1/17

19/85

2/85

4/17

9/85

-8/85

Verifica A · A⁻¹

Esponente n (0-10)

Potenza A²

-1

A⁰ è per definizione la matrice identità, qualunque sia A (purché quadrata).

Scalare k

Prodotto per uno scalare k · A

-2

-4

det(k · A) = k³ · det(A) = -680

Somma e prodotto con una seconda matrice B

Risolvi il sistema lineare A · x = b

Calcolatrice di matrici: tutte le operazioni in frazioni esatte

Una matrice è una tabella di numeri disposti in righe e colonne. Dietro l'aspetto innocuo c'è il linguaggio con cui si scrivono i sistemi di equazioni, le rotazioni in computer grafica, le regressioni statistiche e gli strati di una rete neurale. Questo strumento lavora fino al formato 6×6 e tiene i risultati in forma di frazione esatta, così un 1/3 non diventa mai 0,3333.

Le operazioni disponibili

Somma e differenza: richiedono matrici con le stesse dimensioni; si opera elemento per elemento.
Prodotto per uno scalare: k · A moltiplica ogni elemento per k.
Prodotto fra matrici: A · B esiste solo se le colonne di A sono quante le righe di B; il risultato ha le righe di A e le colonne di B. Non è commutativo: nella quasi totalità dei casi A · B ≠ B · A.
Potenza: Aⁿ ha senso solo per matrici quadrate; A⁰ è la matrice identità.
Trasposta: si scambiano righe e colonne. Valgono (Aᵀ)ᵀ = A e (A · B)ᵀ = Bᵀ · Aᵀ.
Inversa: esiste solo se A è quadrata e det(A) ≠ 0, e soddisfa A · A⁻¹ = I.
Rango e forma ridotta: il rango è il numero di righe indipendenti, cioè le righe non nulle della forma a scalini ridotta.

Rango, nullità e sistemi lineari

Il teorema di Rouché-Capelli dice tutto quello che serve sapere su un sistema A · x = b confrontando due numeri: il rango della matrice dei coefficienti e il rango della matrice completa (coefficienti più termini noti).

Ranghi diversi ⇒ sistema impossibile: nessuna soluzione.
Ranghi uguali e pari al numero di incognite ⇒ una sola soluzione.
Ranghi uguali ma minori del numero di incognite ⇒ infinite soluzioni, con tante variabili libere quante sono incognite meno rango.

Il teorema di nullità e rango completa il quadro: per una matrice con n colonne vale sempre rango + nullità = n, dove la nullità è la dimensione dello spazio delle soluzioni di A · x = 0.

Un esempio completo

Prendiamo A = ((3, 8), (4, 6)). Il determinante è 3·6 − 8·4 = 18 − 32 = −14, quindi la matrice è invertibile. L'inversa si ottiene scambiando gli elementi della diagonale principale, cambiando segno all'altra diagonale e dividendo tutto per il determinante: A⁻¹ = (1/−14) · ((6, −8), (−4, 3)) = ((−3/7, 4/7), (2/7, −3/14)). Moltiplicando A per A⁻¹ si riottiene la matrice identità, ed è esattamente la verifica che lo strumento mostra sotto l'inversa.

Perché le frazioni contano

Nella maggior parte dei calcolatori online l'inversa di una matrice a coefficienti interi esce come una fila di decimali periodici troncati: 0,3333333 al posto di 1/3. Sommando e moltiplicando quei troncamenti l'errore cresce, e la verifica A · A⁻¹ non dà più la matrice identità ma qualcosa come 0,9999998. Qui tutti i passaggi restano in aritmetica razionale: il risultato è la frazione esatta che scriveresti a mano, e la verifica torna al centesimo.

Dove si usano davvero

Computer grafica: rotazioni, scalature e traslazioni sono prodotti di matrici; il determinante dice se la trasformazione ribalta l'immagine.
Statistica: la regressione lineare si risolve con (XᵀX)⁻¹Xᵀy, e l'analisi delle componenti principali è un problema agli autovalori.
Ingegneria: reti elettriche, strutture reticolari e catene di Markov diventano sistemi lineari.
Economia: il modello input-output di Leontief calcola la produzione necessaria risolvendo (I − A)⁻¹ · d.

Puoi attivare una seconda matrice per somma, differenza e prodotto, elevare a potenza, moltiplicare per uno scalare e risolvere il sistema A · x = b con la classificazione di Rouché-Capelli. Tutti i risultati restano in frazioni esatte: 1/3 non diventa mai 0,333.

Come si calcola l'inversa di una matrice?

Si affianca alla matrice A la matrice identità dello stesso ordine, ottenendo il blocco [A | I], e si applicano operazioni sulle righe finché la parte sinistra diventa l'identità: quello che resta a destra è A⁻¹. Per una 2×2 c'è la scorciatoia: si scambiano gli elementi della diagonale principale, si cambia segno all'altra diagonale e si divide tutto per il determinante. Con A = ((3, 8), (4, 6)) il determinante è 3·6 − 8·4 = −14, quindi A⁻¹ = (1/−14) · ((6, −8), (−4, 3)) = ((−3/7, 4/7), (2/7, −3/14)). La verifica è sempre la stessa: moltiplicando A per A⁻¹ deve tornare la matrice identità, e con i conti in frazione esatta torna al centesimo invece di dare 0,9999998.

Solo a scopo ricreativo

I calcolatori della categoria astrologica e numerologica sono pensati come strumenti di intrattenimento e non hanno valore scientifico né predittivo. Non vanno usati per prendere decisioni mediche, finanziarie, legali o relazionali.

Come calcolare determinante e inversa di una matrice

Guida passo dopo passo all'uso del calcolatore di matrici 2×2 e 3×3.

1
Scegli la dimensione
Seleziona il pulsante 'Matrice 2×2' o 'Matrice 3×3' in base al problema che devi risolvere.
2
Inserisci i coefficienti
Compila le celle con i valori numerici della matrice A, riga per riga: a₁₁, a₁₂ per la prima riga, a₂₁, a₂₂ per la seconda (e così via per la 3×3).
3
Leggi il determinante
Il riquadro 'Determinante' mostra il valore calcolato. Se è zero, la matrice è singolare (nessuna inversa); se ≠ 0, è invertibile.
4
Consulta inversa e trasposta
I pannelli 'Matrice Inversa A⁻¹' e 'Trasposta Aᵀ' appaiono automaticamente con tutti gli elementi formattati fino a 4 decimali.
5
Verifica con il quadrato A²
Per le matrici 2×2 il calcolatore mostra anche A²=A·A, utile per controllare proprietà come idempotenza o nilpotenza.

Domande frequenti

Come si moltiplicano due matrici?

Il prodotto A · B esiste solo se le colonne di A sono tante quante le righe di B. L'elemento di posto (i, j) del risultato è la somma dei prodotti fra la riga i di A e la colonna j di B, termine per termine. La matrice prodotto ha le righe di A e le colonne di B: una 3×2 per una 2×4 dà una 3×4. Attenzione all'ordine: il prodotto fra matrici non è commutativo, e nella quasi totalità dei casi A · B è diverso da B · A. Lo strumento calcola entrambi i prodotti quando le dimensioni lo permettono e ti dice se per caso le due matrici commutano.

Quando una matrice non è invertibile?

Una matrice ammette inversa solo se è quadrata e se il suo determinante è diverso da zero. Determinante nullo significa che le righe (o le colonne) sono linearmente dipendenti: una di esse è combinazione delle altre e non porta informazione nuova. In questo caso la matrice si dice singolare, il rango è minore dell'ordine e la trasformazione geometrica associata schiaccia lo spazio su una dimensione inferiore, quindi non c'è modo di tornare indietro. Nella scheda dei risultati trovi sia il determinante sia il rango, che insieme dicono subito se l'inversa esiste.

Che differenza c'è fra rango e determinante?

Il determinante è un singolo numero definito solo per le matrici quadrate; il rango è il numero di righe linearmente indipendenti ed è definito per qualunque matrice, anche rettangolare. Per una matrice quadrata di ordine n i due concetti si toccano: determinante diverso da zero equivale a rango pieno uguale a n. Quando invece il determinante è zero il rango dice quanto è grave la dipendenza, cioè quante righe indipendenti restano davvero. Lo strumento ricava il rango dalla forma a scalini ridotta ed evidenzia le colonne dei pivot.

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