Geometria

Un risolutore, non una tabella: parti dal dato che hai

La difficoltà degli esercizi di geometria non è quasi mai la formula diretta, ma la formula inversa: conosco l'area e devo trovare il raggio, conosco la circonferenza e devo trovare il diametro, conosco area e perimetro di un rettangolo e devo ricavare i due lati. Per questo lo strumento parte dalla domanda «che cosa conosci?» e ricava tutto il resto, mostrando ogni passaggio con i numeri già sostituiti nella formula.

Cerchio e circonferenza: le quattro formule inverse

Attenzione ai termini: la circonferenza è la linea che delimita la figura (si misura in cm, m…), il cerchio è la superficie racchiusa (si misura in cm², m²). Da un solo dato si ricavano gli altri tre:

• dal raggio: C = 2π · r, A = π · r², d = 2r;
• dal diametro: r = d / 2;
• dalla circonferenza: r = C / (2π), quindi d = C / π;
• dall'area: r = √(A / π).

Esempio: un cerchio di raggio 5 cm ha circonferenza 2 · π · 5 = 31,4159 cm e area π · 5² = 78,5398 cm². Al contrario, da una circonferenza di 31,4159 cm si torna al raggio con 31,4159 / (2π) = 5 cm.

Il valore di π

Pi greco è il rapporto costante tra la lunghezza della circonferenza e il suo diametro: vale 3,14159265358979… ed è un numero irrazionale, cioè con infinite cifre decimali non periodiche. Il calcolatore usa la costante in doppia precisione (circa 16 cifre significative): se a scuola ti chiedono di usare π ≈ 3,14 troverai piccole differenze sulle ultime cifre, del tutto normali.

Triangolo: quattro modi di risolverlo

Con i tre lati si applica la formula di Erone A = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), dove p è il semiperimetro; da lì si ottengono anche le tre altezze (h = 2A / lato), i tre angoli con il teorema del coseno, il raggio del cerchio inscritto (r = A / p) e di quello circoscritto (R = abc / 4A). Con due lati e l'angolo compreso il terzo lato viene dal teorema del coseno; con un lato e i due angoli adiacenti gli altri lati vengono dal teorema dei seni. Se i tre lati non rispettano la disuguaglianza triangolare (ogni lato deve essere minore della somma degli altri due) il triangolo non esiste e lo strumento lo segnala invece di restituire un numero senza senso.

Poligoni regolari e «numero fisso»

In un poligono regolare di n lati, apotema e lato sono legati da a = ℓ / (2 · tan(180°/n)). Il rapporto a / ℓ è il numero fisso usato nei libri di scuola: 0,289 per il triangolo equilatero, 0,5 per il quadrato, 0,688 per il pentagono, 0,866 per l'esagono. L'area è sempre A = P · a / 2, l'angolo interno vale (n − 2) · 180° / n e l'angolo al centro 360° / n.

Ellisse: area esatta, perimetro approssimato

L'area dell'ellisse è esatta: A = π · a · b. Il perimetro invece non ha una formula elementare chiusa (dipende da un integrale ellittico): lo strumento usa la seconda approssimazione di Ramanujan P ≈ π[3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b))], il cui errore relativo resta sotto 10⁻⁵ fino a eccentricità 0,90 (per a = 6 e b = 4 dà 31,730875 contro il valore esatto 31,730879) e sotto 5 · 10⁻⁴ anche per ellissi molto schiacciate, con e = 0,99. La distanza focale si ricava da c = √(a² − b²) e l'eccentricità da e = c / a.

Dai solidi: superficie e volume

Per i solidi il calcolatore distingue sempre superficie laterale, superficie totale e volume, perché è l'errore più comune negli esercizi. Valgono, tra le altre: sfera S = 4πr² e V = (4/3)πr³; cilindro S = 2πr(r + h) e V = πr²h; cono g = √(r² + h²), S = πr(r + g) e V = πr²h / 3; piramide e cono hanno volume pari a un terzo del corrispondente prisma o cilindro con la stessa base e la stessa altezza.

Unità di misura

Le formule sono indipendenti dall'unità scelta: basta usare la stessa per tutti i dati. Le lunghezze restano nell'unità lineare, le aree diventano unità al quadrato e i volumi unità al cubo. Ricorda che i fattori di conversione non sono uguali per le tre dimensioni: 1 m = 100 cm, ma 1 m² = 10.000 cm² e 1 m³ = 1.000.000 cm³.