Geometria Volume

Volume e superficie dei solidi: le formule complete

Il volume misura lo spazio occupato da un solido e si esprime in unità cubiche (mm³, cm³, dm³, m³); la capacità è lo stesso numero letto in litri, perché 1 dm³ = 1 litro esatto. La superficie totale è invece la somma delle aree di tutte le facce: serve per verniciature, rivestimenti, isolamenti e scambio termico. Questo strumento calcola entrambe per undici solidi, parte da qualunque dato conosciuto — anche dal volume per risalire al raggio — e mostra la formula con i numeri già sostituiti, così il passaggio è verificabile a mano.

Tabella delle formule

Come si risale a una dimensione partendo dal volume

È il problema inverso, quello che i calcolatori concorrenti quasi mai risolvono: «ho un serbatoio da 1.000 litri, alto 1,5 m: che raggio ha?». Ogni formula si inverte isolando l’incognita.

• Cubo: ℓ = ∛V. Da 1.000 cm³ → ℓ = 10 cm.
• Sfera: r = ∛(3V / 4π). Da 4.188,79 cm³ → r = 10 cm.
• Cilindro: r = √(V / πh) oppure h = V / (πr²). 1.000 L = 1 m³ con h = 1,5 m → r = √(1 / (π·1,5)) ≈ 0,4607 m, cioè un diametro di circa 92 cm.
• Cono: h = 3V / (πr²), oppure r = √(3V / πh).
• Toro: r = √(V / 2π²R).

Nota pratica: quando inverti una formula il risultato dipende dall’unità con cui hai inserito il volume. Se scrivi il volume in cm³ ottieni una lunghezza in cm; se lo scrivi in m³ ottieni metri. Il selettore in alto tiene tutto coerente: le lunghezze sono nell’unità scelta, il volume nella stessa unità al cubo.

Conversioni fra unità di volume

• 1 cm³ = 1 mL — quindi 1.000 cm³ = 1 litro.
• 1 dm³ = 1 litro esatto: è la definizione stessa del litro.
• 1 m³ = 1.000 dm³ = 1.000 litri = 1.000.000 cm³.
• 1 mm³ = 0,001 cm³: mille millimetri cubi fanno un centimetro cubo (non dieci).
• 1 piede cubico = 28,316846 litri; 1 gallone US = 3,785412 litri; 1 gallone imperiale = 4,546090 litri.

L’errore più frequente è convertire le lunghezze e non i volumi: passando da m a cm le lunghezze si moltiplicano per 100, ma i volumi per 100³ = 1.000.000. Un metro cubo non è cento centimetri cubi, è un milione.

Dal volume al peso: la densità

Il volume da solo non dice quanto pesa una cosa. Serve la densità ρ, cioè la massa per unità di volume: massa = volume × densità. Con il volume in m³ e la densità in kg/m³ il risultato è in chilogrammi. I valori usati dal calcolatore vengono dalla Tab. 3.1.I delle Norme Tecniche per le Costruzioni 2018 (D.M. 17 gennaio 2018), che è il riferimento normativo italiano per i pesi propri dei materiali strutturali.

La norma indica il peso per unità di volume in kN/m³, non la densità: per l’acqua dolce 9,81 kN/m³ corrispondono esattamente a 1.000 kg/m³ (g = 9,81 m/s²), mentre per i materiali da costruzione i valori normativi sono arrotondati in favore di sicurezza e la densità convenzionale corrispondente è quella della terza colonna (25,0 kN/m³ ↔ 2.500 kg/m³ per il calcestruzzo armato, 78,5 kN/m³ ↔ 7.850 kg/m³ per l’acciaio). Per il legname la norma dà un intervallo (4,0 ÷ 6,0 kN/m³ per le conifere): usa la densità personalizzata se conosci l’essenza.

Esempi pratici verificabili

• Piscina rettangolare 8 × 4 m con acqua alta 1,5 m: V = 8 · 4 · 1,5 = 48 m³ = 48.000 litri. A 1.000 kg/m³ l’acqua pesa 48 tonnellate.
• Serbatoio cilindrico r = 0,5 m, h = 1,5 m: V = π · 0,25 · 1,5 ≈ 1,1781 m³ ≈ 1.178 litri. Riempito all’85% contiene circa 1.001 litri.
• Getto di calcestruzzo 5 × 3 m, spessore 10 cm: V = 5 · 3 · 0,10 = 1,5 m³. A 2.500 kg/m³ (armato) sono 3.750 kg, cioè 3,75 t.
• Acquario 100 × 40 × 50 cm: V = 200.000 cm³ = 200 litri lordi. L’acqua effettiva è meno: fondo, arredi e il bordo lasciato libero valgono facilmente il 10-15%.
• Vaso a tronco di cono con R = 30 cm, r = 15 cm, h = 20 cm: V = (π·20/3)(900 + 450 + 225) ≈ 32.986,7 cm³, cioè quasi 33 litri di terriccio.
• Barra d’acciaio cilindrica ⌀ 20 mm lunga 6 m: V = π · 1² · 600 = 1.884,96 cm³ = 0,00188 m³; a 7.850 kg/m³ pesa circa 14,8 kg.

Superficie totale o superficie laterale?

Sono cose diverse e la scelta cambia il preventivo. La superficie laterale esclude le basi: è quella che serve per l’etichetta di una lattina, per l’isolamento del fusto di una colonna o per la lamiera che avvolge un silo. La superficie totale aggiunge le basi: serve quando devi verniciare o rivestire anche coperchio e fondo. Nella sfera le due coincidono, perché non ci sono facce piane. Nel cilindro la differenza vale 2πr², che per un raggio grande non è affatto trascurabile.

Solidi composti e cavità

Un solido reale è quasi sempre una somma: una bottiglia è un cilindro più un tronco di cono più un collo; un capannone è un parallelepipedo più un prisma triangolare. Si calcolano i pezzi separatamente e si sommano i volumi. Per un tubo o un serbatoio a parete spessa si sottrae il vuoto: un cilindro cavo ha V = πh(R² − r²), dove R è il raggio esterno e r quello interno. Attenzione a non sommare le superfici allo stesso modo: le facce a contatto spariscono e vanno tolte due volte.

Strumenti collegati

• Per le figure piane e per gli altri elementi dei solidi c’è il risolutore di geometria piana e solida.
• Per aree di quadrati, cerchi, triangoli e trapezi: calcolo dell’area.
• Per il solo cilindro, con tutte le varianti: calcolo del cilindro.
• Per cerchio, circonferenza e diametro: calcolo del cerchio.