Integrale
Il calcolatore di integrali offre due strumenti complementari: una tabella delle primitive delle funzioni elementari più usate (potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e iperboliche) e un motore di…
Il tuo calcolo
Modifica i dati e confronta| f(x) | ∫f(x)dx | Nota |
|---|---|---|
| x^n | x^(n+1)/(n+1) + C | n ≠ -1 |
| 1/x | ln|x| + C | x ≠ 0 |
| e^x | e^x + C | |
| a^x | a^x / ln(a) + C | a > 0, a ≠ 1 |
| sin(x) | -cos(x) + C | |
| cos(x) | sin(x) + C | |
| tan(x) | -ln|cos(x)| + C | |
| 1/cos²(x) | tan(x) + C | |
| 1/sin²(x) | -cot(x) + C | |
| 1/(1+x²) | arctan(x) + C | |
| 1/√(1-x²) | arcsin(x) + C | |x| < 1 |
| -1/√(1-x²) | arccos(x) + C | |x| < 1 |
| sinh(x) | cosh(x) + C | |
| cosh(x) | sinh(x) + C | |
| 1/√(x²+1) | ln(x+√(x²+1)) + C | arcsinh |
Integrali: tabella di primitive e calcolo numerico
Lo strumento offre la tabella delle primitive delle funzioni elementari più usate e calcola l'integrale definito con metodi numerici (trapezi, Simpson) per funzioni di cui non si conosce la primitiva in forma chiusa.
Tabella delle primitive
∫ k dx = k · x + C(costante)∫ xn dx = xn+1 / (n+1) + Cper n ≠ −1∫ 1/x dx = ln|x| + C∫ ex dx = ex + C∫ ax dx = ax/ln(a) + C∫ ln(x) dx = x · ln(x) − x + C∫ sin(x) dx = −cos(x) + C∫ cos(x) dx = sin(x) + C∫ 1/cos²(x) dx = tan(x) + C∫ 1/sin²(x) dx = −cot(x) + C∫ 1/(1+x²) dx = arctan(x) + C∫ 1/√(1−x²) dx = arcsin(x) + C
Integrali definiti
L'integrale definito di f(x) tra a e b si calcola come ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a) dove F è una primitiva di f. Geometricamente è l'area con segno tra il grafico di f e l'asse x.
Metodi di integrazione numerica
Quando una primitiva non è esprimibile in forma chiusa, si usano:
- Metodo dei rettangoli: il più semplice ma meno preciso. Errore O(1/n).
- Metodo dei trapezi: approssima la curva con segmenti rettilinei. Errore O(1/n²).
- Metodo di Simpson: approssima con parabole, due intervalli alla volta. Errore O(1/n⁴) — molto più preciso anche con poche suddivisioni.
- Quadratura di Gauss: nodi e pesi ottimizzati per minimizzare l'errore con pochi punti.
Tecniche di integrazione analitica
- Sostituzione: cambio di variabile per ricondurre a un integrale noto.
- Per parti:
∫ u dv = uv − ∫ v du. - Frazioni parziali: per funzioni razionali.
- Identità trigonometriche: per espressioni con funzioni trigonometriche.
Applicazioni
Calcolo di aree e volumi, lavoro fisico, valori medi, momenti d'inerzia, baricentro, valore atteso in probabilità, equazioni differenziali. La fisica, l'ingegneria e l'economia ne fanno uso intensivo.
Il calcolatore di integrali offre due strumenti complementari: una tabella delle primitive delle funzioni elementari più usate (potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e iperboliche) e un motore di integrazione numerica per calcolare ∫ₐᵇ f(x) dx su qualsiasi intervallo. Il calcolo numerico utilizza il metodo dei trapezi e il più preciso metodo di Simpson, che approssima la curva con parabole e garantisce un errore O(1/n⁴). Ideale per studenti di analisi matematica, ingegneria e fisica che devono calcolare aree, volumi o valori medi. Esempio rapido: ∫₀¹ x² dx = 1/3 ≈ 0,3333.
Cos'è un integrale e come si calcola numericamente?
| Metodo dei trapezi — errore | O(1/n²): con n = 100 intervalli, errore ≈ 10⁻⁴ |
| Metodo di Simpson — errore | O(1/n⁴): con n = 100 intervalli, errore ≈ 10⁻⁸ |
| Formula trapezi | (h/2) · [f(a) + 2f(x₁) + ... + 2f(xₙ₋₁) + f(b)] |
| Formula Simpson (n pari) | (h/3) · [f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + ... + f(xₙ)] |
| Esempio: ∫₀¹ x² dx (Simpson, n=100) | 0,33333333 — coincide con il valore esatto 1/3 |
| Primitiva di eˣ | eˣ + C |
| Primitiva di sin(x) | −cos(x) + C |
Come calcolare un integrale definito con il calcolatore
Guida passo passo per usare la tabella delle primitive e il modulo di integrazione numerica.
- 1
Scegli la modalità
Seleziona «Tabella Integrali» per consultare le primitive delle funzioni elementari, oppure «Calcolo Numerico» se vuoi calcolare ∫ₐᵇ f(x) dx con metodi numerici.
- 2
Inserisci la funzione f(x)
In modalità numerica, digita l'espressione nel campo f(x): usa la sintassi x^2, sin(x), cos(x), exp(x), ln(x), sqrt(x). Puoi combinare funzioni, ad esempio x^2 + sin(x).
- 3
Imposta gli estremi di integrazione
Inserisci il valore di a (estremo inferiore) e b (estremo superiore) dell'intervallo [a, b] su cui calcolare l'integrale definito.
- 4
Scegli il numero di intervalli n
Imposta n (numero di sotto-intervalli, default 100). Valori più alti aumentano la precisione: con n = 100 il metodo di Simpson raggiunge tipicamente 8 cifre significative.
- 5
Leggi i risultati
Il calcolatore mostra il risultato con il metodo dei trapezi e con il metodo di Simpson. Simpson è in genere più accurato; confronta i due valori per stimare l'errore numerico residuo.