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Integrali

Il tuo calcolo

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Funzione integranda f(x)

Operatori + − * / ^ · funzioni sin cos tan exp ln log sqrt arctan · ln naturale, log in base 10 · prodotto implicito accettato (3x).

∫ f(x) dx =

x³ + x² − 5 · x + C

f(x) = 3 · x² + 2 · x − 5

Metodo: linearità dell'integrale.

Prova del nove

La primitiva è stata riderivata e confrontata con l'integranda in cinque punti: coincidono a meno di 0.0e+0. È il controllo che si fa anche a mano — derivare il risultato deve restituire la funzione di partenza.

Viola: f(x) · campitura: area sottesa fra la curva e l'asse x. x da -5,2 a 5,2.

Integrale indefinito: trovare la primitiva

Calcolare l'integrale indefinito di f significa trovare una funzione F tale che F′(x) = f(x): si va all'indietro rispetto alla derivazione. Il risultato si scrive ∫ f(x) dx = F(x) + C perché le primitive sono infinite e differiscono l'una dall'altra per una costante.

Le regole che lo strumento applica

Linearità: ∫ [f + g] dx = ∫ f dx + ∫ g dx e le costanti moltiplicative escono dall'integrale. Un polinomio si integra così, termine per termine.
Potenza: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C per n ≠ −1, e ∫ 1/x dx = ln|x| + C per il caso escluso.
Argomento lineare: se dentro la funzione c'è ax + b si integra la primitiva nota e si divide per a — ∫ sin(2x) dx = −cos(2x)/2. È il caso più semplice di sostituzione.
Logaritmica: ∫ f′/f dx = ln|f| + C, riconosciuta anche quando il numeratore è un multiplo della derivata del denominatore.
Per parti: ∫ u dv = u·v − ∫ v du, applicata automaticamente ai prodotti fra un polinomio e una funzione elementare (x·eˣ, x²·sin x) e ai casi di ln x e arctan x.

La prova del nove

Ogni primitiva calcolata viene riderivata e confrontata con la funzione di partenza in cinque punti. Se le due coincidono il risultato è confermato; è lo stesso controllo che conviene fare a mano in ogni compito, perché derivare è meccanico mentre integrare no. Quando la verifica non passa lo strumento lo scrive invece di far finta di niente.

Quando la primitiva non esiste (in forma elementare)

Molte funzioni perfettamente normali non hanno una primitiva esprimibile con funzioni elementari: e^−x², che regge tutta la statistica, sin(x)/x, 1/ln x. Non è un limite del calcolatore ma un risultato di teoria. In questi casi l'integrale definito si calcola comunque per via numerica: passa al modo «Integrale definito».

Perché non serve un elenco di funzioni preconfezionate

La versione precedente di questa pagina faceva scegliere l'integranda fra dodici bottoni: fuori da quelle dodici non si poteva calcolare nulla. Qui l'espressione si scrive liberamente e viene analizzata dal parser: polinomi di qualunque grado, argomenti lineari, quozienti, prodotti con esponenziali e trigonometriche.

Le tecniche che restano da fare a mano

Sostituzione non lineare: u = g(x) con g qualsiasi, per esempio in ∫ x·√(1+x²) dx.
Frazioni parziali per le funzioni razionali con denominatore fattorizzabile.
Formule di bisezione e prostaferesi per i prodotti di funzioni trigonometriche.
Integrali ricorsivi, in cui per parti riporta all'integrale di partenza e si risolve come un'equazione.

Scrivi l'integranda e ottieni la primitiva F(x) + C con il nome della regola usata — linearità, potenza, argomento lineare, f′/f, integrazione per parti — e la prova del nove: la primitiva viene riderivata e confrontata con la funzione di partenza in cinque punti. Con i modi in alto passi all'integrale definito, dove il valore esatto da F(b) − F(a) è affiancato dalla quadratura numerica e dal confronto fra rettangoli, trapezi e Simpson, e al calcolo dell'area compresa fra due curve.

Come si calcola un integrale?

Per l'integrale indefinito si cerca una funzione F la cui derivata sia l'integranda: si applica la linearità termine per termine, poi la regola della potenza ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (con ∫1/x dx = ln|x| + C per il caso n = −1), le primitive elementari di seno, coseno ed esponenziale, il riconoscimento della forma ∫f′/f dx = ln|f| + C e, per i prodotti, l'integrazione per parti ∫u dv = u·v − ∫v du. Per l'integrale definito si usa il teorema fondamentale: ∫ da a a b di f(x) dx = F(b) − F(a), e la costante C si semplifica. Quando la primitiva non è elementare resta la via numerica, con la formula di Simpson. Il modo migliore per verificare qualunque risultato è derivare la primitiva trovata: deve restituire l'integranda.

Come calcolare un integrale definito con lo strumento

Seleziona la funzione e i limiti di integrazione per ottenere il valore esatto e la stima numerica di Simpson.

1
Scegli il tipo di integrale
Premi il pulsante '∫ₐᵇ Definito' per calcolare l'area sotto la curva oppure '∫ Indefinito' per ottenere la primitiva simbolica.
2
Seleziona la funzione f(x)
Tocca uno dei 12 pulsanti di funzione disponibili: x², x³, sin(x), cos(x), eˣ, 1/x, √x, x, 1, x⁴, ln(x), tan(x).
3
Inserisci i limiti a e b
Per l'integrale definito digita il limite inferiore a e il limite superiore b nei rispettivi campi (accettano valori decimali negativi e positivi).
4
Leggi il risultato
Lo strumento mostra il valore esatto F(b)−F(a), la stima Simpson (n=1000) e l'errore assoluto tra i due, più la primitiva simbolica F(x)+C.

Domande frequenti

Quali integrali riesce a risolvere in forma simbolica?

Polinomi e somme per linearità, potenze di un argomento lineare come (2x+1)³, il caso 1/x e in generale f′(x)/f(x) anche a meno di un fattore costante, esponenziali eˣ e aˣ, seno e coseno con argomento lineare, ln x e arctan x, e i prodotti fra un polinomio e una funzione elementare tramite integrazione per parti. Restano da fare a mano le sostituzioni non lineari, le frazioni parziali e gli integrali trigonometrici che richiedono formule di duplicazione.

Perché alcune funzioni non hanno primitiva?

Non è un limite del calcolatore: è un risultato di teoria. Funzioni del tutto normali come e^(−x²), sin(x)/x o 1/ln x non hanno una primitiva esprimibile come combinazione finita di funzioni elementari. Quando succede, lo strumento lo dichiara e rimanda al modo «Integrale definito»: l'area sotto la curva si calcola comunque per via numerica, con l'errore stimato.

Che differenza c'è fra il valore dell'integrale e l'area?

L'integrale definito è un'area con segno: dove la funzione sta sotto l'asse x il contributo è negativo. Per questo l'integrale del seno fra 0 e 2π vale zero, pur essendoci area sotto la curva. Se serve l'area geometrica bisogna spezzare l'intervallo negli zeri della funzione e sommare i valori assoluti: lo strumento calcola entrambi i numeri e indica dove avviene il cambio di segno.