Proporzioni (quarta proporzionale)

Proporzioni: dalla quarta proporzionale al riparto composto

Una proporzione è l’uguaglianza fra due rapporti: a : b = c : d, che si legge «a sta a b come c sta a d». I termini a e d si chiamano estremi, b e c si chiamano medi. Da questa definizione discende tutto il resto, a partire dalla proprietà fondamentale.

La proprietà fondamentale (e perché funziona)

In ogni proporzione il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi: a · d = b · c. La dimostrazione è immediata: da a/b = c/d, moltiplicando entrambi i membri per b · d, si ottiene a · d = b · c. È la ragione per cui basta conoscere tre termini per trovare il quarto: si isola l’incognita dividendo per il termine che le sta di fronte.

• manca a → a = (b · c) / d
• manca b → b = (a · d) / c
• manca c → c = (a · d) / b
• manca d → d = (b · c) / a

Regola pratica: un estremo incognito si trova moltiplicando i due medi e dividendo per l’altro estremo; un medio incognito si trova moltiplicando i due estremi e dividendo per l’altro medio.

Le altre proprietà, con un esempio numerico

Partiamo da 3 : 6 = 5 : 10 (estremi 3 · 10 = 30, medi 6 · 5 = 30: la proporzione è vera).

• Permutare i medi: 3 : 5 = 6 : 10 — resta vera.
• Permutare gli estremi: 10 : 6 = 5 : 3 — resta vera.
• Invertire: 6 : 3 = 10 : 5 — resta vera.
• Comporre: (3 + 6) : 6 = (5 + 10) : 10, cioè 9 : 6 = 15 : 10 — entrambi valgono 1,5.
• Scomporre: (3 − 6) : 6 = (5 − 10) : 10, cioè −3 : 6 = −5 : 10 — entrambi valgono −0,5.

Comporre e scomporre sembrano tecnicismi scolastici, ma servono ogni volta che conosci la somma o la differenza di due grandezze e il loro rapporto: è esattamente il problema «due numeri stanno come 3 a 5 e la loro somma è 64».

Proporzione continua: medio e terzo proporzionale

Se i due medi coincidono la proporzione si dice continua: a : x = x : b. Allora x² = a · b, quindi il medio proporzionale è x = √(a · b), cioè la media geometrica dei due termini. Fra 4 e 9 il medio proporzionale è √36 = 6. Il terzo proporzionale risolve invece a : b = b : x, da cui x = b² / a: dopo 4 e 6 viene 9.

Non è un esercizio fine a sé stesso: il medio proporzionale è il secondo teorema di Euclide (l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei cateti) ed è la base del calcolo della media geometrica nei tassi di crescita.

Proporzionalità diretta e inversa: come distinguerle

Due grandezze sono direttamente proporzionali quando il loro rapporto resta costante: raddoppiando una, raddoppia l’altra (chili e prezzo, ore e paga oraria fissa, litri e chilometri a consumo costante). Sono inversamente proporzionali quando resta costante il loro prodotto: raddoppiando una, l’altra si dimezza (operai e giorni per finire un lavoro, velocità e tempo su una distanza fissa, numero di persone e razione a testa con provviste date).

Il test in una riga: chiediti se raddoppiando la prima grandezza la seconda raddoppia (diretta) o si dimezza (inversa). Se non fa né l’una né l’altra cosa — come la superficie rispetto al lato, che quadruplica — allora non c’è proporzionalità semplice e la regola del tre non si applica.

• Diretta: 3 kg di mele costano 6 €, 5 kg costano 6 · 5/3 = 10 €.
• Inversa: 6 operai finiscono in 10 giorni, 4 operai impiegano 10 · 6/4 = 15 giorni.
• Composta: 3 operai producono 2 pezzi in 8 ore; 5 operai in 10 ore producono 2 · (5/3) · (10/8) ≈ 4,17 pezzi — entrambi i fattori sono diretti rispetto alla produzione.

Riparto proporzionale semplice e composto

Ripartire una quantità Q in parti proporzionali ai valori p₁, p₂, … significa dare a ciascuno quota_i = Q · p_i / (p₁ + p₂ + …). Nel riparto inverso si usano i reciproci: quota_i = Q · (1/p_i) / Σ(1/p_j). Nel riparto composto il coefficiente è il prodotto di due grandezze, tipicamente capitale × tempo.

• Diretto: dividere 720 € in parti proporzionali a 2, 3 e 4 → somma 9, quote 160, 240 e 320 €.
• Inverso: dividere 1.100 € in parti inversamente proporzionali a 2, 3 e 4 → coefficienti 1/2, 1/3, 1/4 → quote 507,69, 338,46 e 253,85 €.
• Composto: tre soci investono 10.000 € per 6 mesi, 15.000 € per 4 mesi e 25.000 € per 3 mesi; l’utile di 12.000 € si divide sui coefficienti 60.000, 60.000 e 75.000 → quote 3.692,31, 3.692,31 e 4.615,38 €. Il secondo socio ha messo più capitale del primo ma per meno tempo: prende esattamente lo stesso.

Il dettaglio che rovina i conti fatti a mano è l’arrotondamento: tre quote da 33,333… su 100 € arrotondate danno 99,99 €. Il calcolatore assegna il centesimo residuo alla quota con la parte decimale più alta (metodo del resto maggiore), così la somma torna sempre esatta.

Catena di rapporti

Scrivere a : b : c = 3 : 4 : 5 significa che esiste un fattore comune k con a = 3k, b = 4k, c = 5k. Se la somma è nota, k = totale ÷ (3 + 4 + 5). Un triangolo con i lati in rapporto 3 : 4 : 5 e perimetro 36 cm ha lati di 9, 12 e 15 cm — ed è rettangolo, perché 9² + 12² = 15². Vale anche la proprietà della somma: in una catena a : b = c : d = e : f, il rapporto fra la somma degli antecedenti e la somma dei conseguenti è ancora lo stesso: (a + c + e) : (b + d + f) = a : b.

Percentuali e scale sono proporzioni travestite

Una percentuale è la proporzione parte : totale = p : 100. Chiedersi «45 su 250 che percentuale è?» equivale a risolvere 45 : 250 = p : 100 → p = 18%. Una scala è la proporzione 1 : N = carta : reale: su una carta 1:25.000, 4 cm corrispondono a 100.000 cm, cioè 1.000 m = 1 km.

Attenzione all’errore classico sulle scale: le aree non si riducono con N ma con N². Su una carta 1:25.000 un centimetro quadrato rappresenta 25.000² cm² = 62.500 m², cioè 6,25 ettari. Lo stesso vale per i plastici e i modellini: un modello in scala 1:10 ha un volume mille volte più piccolo, non dieci.

Errori frequenti

• Applicare la regola del tre a grandezze non proporzionali. «Se un muratore costruisce un muro in 10 giorni, dieci muratori lo fanno in un giorno» è vero solo in teoria: molte relazioni reali hanno vincoli che rompono la proporzionalità.
• Scambiare diretta e inversa. Se il risultato viene più grande quando ti aspettavi che diminuisse, hai invertito il rapporto: rifai il calcolo con il fattore capovolto.
• Confondere rapporto e frazione del totale. «Dividere in rapporto 2 : 3» non significa dare 2/3 e 3/3, ma 2/5 e 3/5: il denominatore è la somma dei termini.
• Diluizioni. «Diluire 1 : 20» in chimica significa quasi sempre 1 parte di prodotto su 20 parti totali di soluzione finale (per 5 L servono 250 mL). Alcuni produttori intendono invece 1 parte di prodotto ogni 20 di acqua (per 5 L totali servono circa 238 mL): controlla sempre l’etichetta.
• Zeri. Una proporzione con uno zero al denominatore non ha soluzione. Il calcolatore lo segnala invece di restituire un numero senza senso.

Strumenti collegati

• Per sconti, aumenti, IVA e variazioni: calcolo delle percentuali.
• Per medie pesate e ripartizioni su più criteri: media ponderata.
• Per rapporti fra grandezze geometriche: geometria piana e solida.