Media Ponderata

Media ponderata: formula, esempi e la media giusta per ogni caso

La media ponderata (o media pesata) assegna a ciascun valore un’importanza diversa. La formula è M = Σ(valore × peso) / Σpeso: si moltiplica ogni valore per il suo peso, si sommano i prodotti e si divide per la somma dei pesi. Se tutti i pesi sono uguali si ritrova la media aritmetica semplice.

Esempio minimo: un 28 in un esame da 12 CFU e un 30 in uno da 3 CFU danno (28 × 12 + 30 × 3) / (12 + 3) = 426 / 15 = 28,4, non 29. La media aritmetica tratterebbe i due esami come equivalenti, e non lo sono.

Quale media usare: la parte che quasi tutti sbagliano

«Media» non è una sola cosa. La media corretta dipende da come si combinano le grandezze che stai mediando, e usare quella sbagliata non è una raffinatezza da statistici: cambia il numero.

Tassi di crescita: perché serve la geometrica

Un investimento fa +50% il primo anno e −50% il secondo. La media aritmetica dice 0%: sembra che tu sia in pari. In realtà 100 € diventano 150 € e poi 75 €: hai perso il 25%. La media geometrica restituisce √(1,50 × 0,50) − 1 = −13,40% all’anno, che applicata due volte riporta esattamente a 75 €. È l’unica media che «torna» quando la si riapplica.

Con +10%, +20% e +30% in tre anni: aritmetica 20%, geometrica (1,10 × 1,20 × 1,30)1/3 − 1 = 19,72%, crescita complessiva +71,6%. La media aritmetica dei rendimenti sovrastima sempre quella geometrica, e lo scarto cresce con la volatilità: è il motivo per cui i rendimenti dei fondi si comunicano come rendimento annualizzato, che è una media geometrica.

Velocità e rapporti: perché serve l’armonica

Vai all’andata a 60 km/h e al ritorno a 40 km/h sulla stessa strada. La velocità media non è 50 km/h: è 2 / (1/60 + 1/40) = 48 km/h. Il motivo è che passi più tempo nel tratto lento, quindi quel tratto pesa di più. La verifica: 100 km all’andata in 1 h 40 min e 100 km al ritorno in 2 h 30 min fanno 200 km in 4 h 10 min, cioè 48 km/h esatti.

La media aritmetica sarebbe corretta solo se i due tratti durassero lo stesso tempo. La stessa logica vale per il PAC: investendo la stessa cifra ogni mese, il prezzo medio di carico è la media armonica dei prezzi, non quella aritmetica — ed è sempre più bassa. È tutto il vantaggio matematico dell’accumulo a rata costante.

Mediana, moda e deviazione standard

• Mediana: il valore che divide i dati a metà. È l’indice giusto quando ci sono valori estremi: su stipendi di 1.200, 1.300, 1.400 e 15.000 €, la media è 4.725 € ma la mediana è 1.350 €, che descrive molto meglio la situazione tipica.
• Moda: il valore che si ripete di più (qui: quello con il peso complessivo maggiore). Su dati continui spesso non esiste, e più valori possono essere modali insieme.
• Deviazione standard: quanto i dati si allontanano in media dalla media. Si divide per Σw se i dati sono l’intera popolazione, per Σw − 1 se sono un campione da cui vuoi stimare la popolazione (correzione di Bessel). Sui dati 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 la media è 5 e la deviazione standard di popolazione è esattamente 2.
• Coefficiente di variazione: deviazione standard divisa per la media, in percentuale. Serve per confrontare la variabilità di grandezze con unità o ordini di grandezza diversi.

Media universitaria e voto di laurea

In Italia la media di partenza per il voto di laurea è la media ponderata dei voti sui CFU, poi convertita in centodecimi moltiplicando per 110/30 ≈ 3,6667. Su 27,3 di media la base è 100,1. A questo punto si aggiungono i punti della tesi, gli eventuali bonus (laurea in corso, Erasmus, lodi) secondo il regolamento del singolo ateneo.

Due avvertenze che fanno la differenza. La prima: il valore del 30 e lode nella media cambia da ateneo ad ateneo (spesso vale 30, altrove 31 o 32) — qui puoi sceglierlo, ma la fonte è il regolamento didattico del tuo corso. La seconda: alcuni corsi escludono dalla media le idoneità e gli esami senza voto, e alcuni permettono di scartare i peggiori: in quel caso togli quelle righe dalla tabella. Il calcolo completo, con tesi e bonus, è nel calcolatore del voto di laurea.

Altre applicazioni della media ponderata

• Portafoglio: 60% azioni a +12% e 40% obbligazioni a +3% → 0,60 × 12 + 0,40 × 3 = 8,4%. (Su più anni, però, i rendimenti vanno composti geometricamente.)
• Prezzo medio di carico: somma di prezzo × quantità diviso quantità totale.
• Millesimi condominiali: la spesa si ripartisce con pesi millesimali — è una media ponderata al contrario.
• Concorsi: scritto al 60% e orale al 40%, con 24/30 e 27/30 → 0,6 × 24 + 0,4 × 27 = 25,2.
• Sondaggi: le medie dei sondaggi pesano per numerosità campionaria e affidabilità dell’istituto.

Pesi: le regole che contano

I pesi devono essere non negativi e la loro somma diversa da zero. Un peso 0 esclude di fatto il valore. Conta solo il rapporto fra i pesi: 3, 5, 2 dà lo stesso risultato di 0,30, 0,50, 0,20 o di 30, 50, 20 — non serve normalizzarli a 100. Se i pesi sono tutti uguali, la media ponderata coincide con l’aritmetica.

Strumenti collegati

• Per tesi, bonus e lode: calcolo del voto di laurea.
• Per ripartire una somma in proporzione a dei pesi: riparto proporzionale.
• Per variazioni e quote: calcolo delle percentuali.