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Matematica e Geometria

Probabilita di almeno un successo su N tentativi

Questo calcolatore risponde alla domanda «quante chance ho di riuscire almeno una volta?» applicando la regola del complemento: P = 1 − (1 − p)^N.

Il tuo calcolo

Modifica i dati e confronta
Probabilita di almeno un successo

45.45%

Che probabilita ho almeno una volta

La probabilita di almeno un successo e 1 meno la probabilita di nessun successo: 1 - (1-p) elevato al numero di tentativi.

Eventi indipendenti

Vale se i tentativi sono indipendenti tra loro.

Intuizione

Anche eventi rari diventano probabili con molti tentativi.

Calcolo probabilistico esatto a fini didattici.

Basta indicare la probabilità del singolo evento nella forma «1 su X» e il numero di tentativi N; il risultato è la probabilità cumulata espressa in percentuale. Utile per giochi, sperimentazioni, test di qualità e qualsiasi situazione con prove indipendenti e ripetute. Esempio diretto: con un evento «1 su 50» in 30 tentativi la probabilità di riuscire almeno una volta supera il 45%.

Qual è la probabilità di riuscire almeno una volta su N tentativi?

La probabilità di ottenere almeno un successo in N tentativi indipendenti si calcola con P = 1 − (1 − p)^N, dove p = 1/X è la probabilità del singolo evento. Esempio: evento con probabilità 1 su 50 (p = 0,02) in 30 prove → P = 1 − 0,98^30 ≈ 45,45%.

Come calcolare la probabilità di almeno un successo

Inserisci la probabilità del singolo evento e il numero di tentativi per ottenere la probabilità cumulata di successo.

  1. 1

    Inserisci la probabilità del singolo evento

    Nel campo «Probabilità del singolo evento (1 su)» digita il denominatore X: ad esempio 50 se l'evento si verifica in media 1 volta ogni 50 prove.

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    Inserisci il numero di tentativi

    Nel campo «Numero di tentativi» digita quante prove intendi effettuare, ad esempio 30.

  3. 3

    Leggi il risultato

    Il calcolatore applica la formula P = 1 − (1 − 1/X)^N e mostra la probabilità di almeno un successo espressa in percentuale con due decimali.

  4. 4

    Modifica i valori per esplorare scenari diversi

    Aumenta N per vedere come cresce rapidamente la probabilità anche con eventi rari, oppure riduci X per eventi più frequenti.

Domande frequenti

Qual è la formula per calcolare la probabilità di almeno un successo?
La formula è P(almeno 1) = 1 − (1 − p)^N, dove p è la probabilità del singolo evento e N il numero di tentativi. Si parte dalla probabilità complementare: (1 − p)^N è la probabilità di non ottenere mai il risultato cercato in N prove indipendenti. Sottraendo da 1 si ottiene la probabilità di riuscirci almeno una volta.
Perché la probabilità cresce molto con il numero di tentativi anche se il singolo evento è raro?
Perché le probabilità di fallimento si moltiplicano ad ogni tentativo. Se la probabilità di fallire ogni volta è 0,98 (cioè p = 1 su 50), dopo 30 prove la probabilità di fallire sempre è 0,98^30 ≈ 54,5%, quindi quella di riuscire almeno una volta è già il 45,5%. Con 100 prove sale all'86,7%.
Se un evento ha probabilità 1 su 6 (come un dado), qual è la probabilità di ottenerlo almeno una volta in 6 lanci?
Inserendo p = 1/6 e N = 6: P = 1 − (5/6)^6 = 1 − 0,3349 ≈ 66,5%. Contrariamente all'intuizione, sei lanci non garantiscono il successo; la certezza assoluta non si raggiunge mai con un numero finito di prove.
Il calcolo vale anche se i tentativi non sono identici tra loro?
No. La formula 1 − (1 − p)^N assume che ogni tentativo abbia la stessa probabilità p e che gli eventi siano indipendenti (l'esito di uno non influenza gli altri). Se la probabilità cambia da prova a prova occorre moltiplicare i singoli complementi: 1 − (1−p₁)(1−p₂)…(1−pₙ).
Quanti tentativi servono per avere almeno il 90% di probabilità di riuscire con un evento '1 su 50'?
Bisogna risolvere 1 − (49/50)^N ≥ 0,90, ovvero (0,98)^N ≤ 0,10. Applicando il logaritmo: N ≥ ln(0,10) / ln(0,98) ≈ 114 tentativi. In generale N = ln(1 − P_target) / ln(1 − p).

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