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Matematica e Geometria

Probabilita di estrazione senza reinserimento

Lo strumento calcola la probabilità che, estraendo uno alla volta da un insieme senza reinserire gli elementi estratti, tutte le estrazioni risultino favorevoli.

Il tuo calcolo

Modifica i dati e confronta
Probabilita che siano tutti favorevoli

0.8772%

Probabilita estraendo senza rimettere

Senza reinserimento la probabilita di pescare solo elementi favorevoli si calcola moltiplicando le probabilita condizionate a ogni estrazione.

Cambia ogni volta

Dopo ogni estrazione cambiano sia favorevoli sia totale.

Uso

Urne, mazzi di carte, controlli a campione.

Calcolo probabilistico esatto a fini didattici (estrazioni senza reinserimento).

Il metodo si basa sulle probabilità condizionate: ad ogni passo il numeratore e il denominatore diminuiscono di uno. La formula è P = (K/N) × (K−1)/(N−1) × … × (K−k+1)/(N−k+1), dove N è il totale degli elementi, K quelli favorevoli e k il numero di estrazioni. È usata per urne, mazzi di carte e controlli a campione. Ad esempio, da 20 palline (5 rosse) si pescano 3: la probabilità che siano tutte rosse è circa 0,8772%.

Qual è la probabilità di pescare solo elementi favorevoli senza reinserimento?

Si moltiplica la probabilità del primo elemento favorevole per le probabilità condizionate dei successivi: P = (K/N) × (K−1)/(N−1) × … Con N = 20, K = 5 e k = 3 estrazioni si ottiene (5/20) × (4/19) × (3/18) ≈ 0,8772%. A ogni passo sia il conteggio dei favorevoli sia il totale diminuiscono di uno.

Come calcolare la probabilità di estrazione senza reinserimento

Inserisci le caratteristiche dell'urna e il numero di estrazioni per ottenere la probabilità che tutti gli elementi estratti siano favorevoli.

  1. 1

    Inserisci il totale degli elementi

    Nel campo «Totale elementi» digita il numero complessivo di palline, carte o oggetti nell'urna (es. 20).

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    Inserisci gli elementi favorevoli

    Nel campo «Elementi favorevoli» indica quanti elementi dell'urna sono del tipo desiderato (es. 5 palline rosse su 20).

  3. 3

    Inserisci il numero di estrazioni

    Nel campo «Estrazioni effettuate» digita quante volte si estrae senza reinserire l'elemento estratto (es. 3).

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    Leggi la probabilità

    Il risultato mostra la percentuale con quattro decimali: è la probabilità che tutte le estrazioni producano un elemento favorevole.

Domande frequenti

Qual è la formula per la probabilità senza reinserimento?
La formula moltiplica le probabilità condizionate per ogni estrazione: P = (K/N) × (K−1)/(N−1) × … × (K−k+1)/(N−k+1). Ogni passo riduce di uno sia gli elementi favorevoli sia il totale, perché l'elemento estratto non viene rimesso nell'urna.
Qual è la differenza tra estrazione con e senza reinserimento?
Con reinserimento la probabilità rimane costante a ogni passo (P = (K/N)^k), perché l'elemento estratto torna nell'urna. Senza reinserimento le probabilità cambiano a ogni passo: il denominatore e spesso il numeratore diminuiscono, rendendo il calcolo più articolato.
Come si calcola la probabilità di pescare 2 assi da un mazzo da 52 carte?
N = 52, K = 4 assi, k = 2 estrazioni. P = (4/52) × (3/51) = 12/2652 ≈ 0,4525%. Ogni estrazione senza rimettere la carta riduce sia gli assi disponibili sia le carte totali nel mazzo.
Cosa succede se il numero di estrazioni supera quello degli elementi favorevoli?
Se si vogliono estrarre più elementi favorevoli di quanti ne esistano (k > K), la probabilità è automaticamente 0: a un certo passo il fattore al numeratore diventa zero, rendendo impossibile l'evento. Il calcolatore mostra correttamente il risultato 0,0000%, senza segnalare un errore.
In quali contesti reali si usa l'estrazione senza reinserimento?
Si applica in controlli qualità a campione (lotti di produzione), giochi di carte, lotterie senza rimessa del biglietto, e test statistici non parametrici. La distribuzione ipergeometrica formalizza esattamente questo tipo di problema ed è alla base di numerosi test d'ipotesi.

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