Probabilita Probabilità

Probabilità: eventi composti, Bayes, combinatoria e distribuzione binomiale

La probabilità di un evento è un numero fra 0 (impossibile) e 1 (certo). Per esiti equiprobabili vale la definizione classica di Laplace: P = casi favorevoli / casi possibili. Su un dado a 6 facce P(«esce 6») = 1/6 ≈ 16,67%; su una moneta equilibrata P(testa) = 1/2 = 50%. La parola chiave è equiprobabili: se gli esiti non lo sono, contare i casi non basta.

Eventi composti: «e» e «o» fatti bene

Sono le due regole che quasi tutti applicano male, perché dipendono da come i due eventi si relazionano.

• «E» (entrambi). Se A e B sono indipendenti, P(A ∩ B) = P(A) · P(B): due sei consecutivi al dado fanno 1/6 × 1/6 = 1/36 ≈ 2,78%. Se non sono indipendenti serve la regola generale P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A): estraendo due assi da un mazzo da 52 senza rimettere la prima carta si ha 4/52 × 3/51 ≈ 0,45%, non (4/52)².
• «O» (almeno uno). La formula generale è sempre P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). La somma secca P(A) + P(B) vale solo per eventi incompatibili, quelli che non possono verificarsi insieme. Al dado, «numero pari» e «esce 1» sono incompatibili: 3/6 + 1/6 = 4/6 ≈ 66,67%. Ma «numero pari» e «numero maggiore di 3» non lo sono: 3/6 + 3/6 − 2/6 = 4/6, non 100%.
• Contrario. P(non A) = 1 − P(A). È spesso la scorciatoia migliore: la probabilità di «almeno un 6 in n lanci» si calcola come 1 − (5/6)ⁿ. Con 4 lanci fa 51,77%, con 10 lanci 83,85%.

Attenzione a non confondere incompatibili e indipendenti: sono quasi l’opposto. Due eventi incompatibili con probabilità positiva sono per forza dipendenti, perché sapere che è successo uno rende l’altro impossibile.

Probabilità condizionata e teorema di Bayes

La probabilità condizionata P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) risponde a: «ora che so che è successo B, quanto è probabile A?». Il teorema di Bayes permette di rovesciare il condizionamento: P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B).

L’applicazione che smonta l’intuizione è quella dei test diagnostici. Una malattia colpisce l’1% della popolazione; un test ha sensibilità 90% (individua 9 malati su 10) e specificità 91% (sbaglia su 9 sani su 100). Su 100.000 persone: 1.000 malati, di cui 900 positivi; 99.000 sani, di cui 8.910 falsi positivi. I positivi sono 9.810, ma solo 900 sono davvero malati: P(malato | positivo) ≈ 9,17%. Un test «accurato al 90%» dà un risultato positivo che nel 91% dei casi è un falso allarme, semplicemente perché i sani sono moltissimi di più. È la base rate fallacy, e vale identica per gli antifurti, i controlli antidoping e i sistemi antifrode.

Combinatoria: le quattro domande

Prima di scegliere la formula, rispondi a due domande: l’ordine conta? e si possono ripetere gli elementi?

• C(10,3) = 120: le commissioni di 3 persone scelte fra 10.
• D(10,3) = 720: i podi possibili (oro, argento, bronzo) fra 10 atleti.
• 10⁴ = 10.000: i PIN a quattro cifre, perché le cifre si possono ripetere.
• D(10,4) = 5.040: i codici a quattro cifre tutte diverse.
• C(90,5) = 43.949.268: le cinquine possibili su 90 numeri.
• C(90,6) = 622.614.630: le sestine possibili su 90 numeri.
• Permutazioni con ripetizione: gli anagrammi distinti di MATEMATICA sono 10! / (2!·3!·2!) = 151.200, non 10! = 3.628.800, perché scambiare fra loro le tre A non produce una parola diversa.

Distribuzione binomiale

Serve quando ripeti n prove indipendenti che hanno solo due esiti, ciascuna con la stessa probabilità p di successo. La probabilità di ottenere esattamente k successi è P(X = k) = C(n,k) · pk · (1 − p)n−k.

• Esattamente 7 teste in 10 lanci: C(10,7) · 0,5¹⁰ = 120/1024 ≈ 11,72%.
• Al più 3 teste in 10 lanci: somma da 0 a 3 = 17,19%.
• Valore atteso n·p, varianza n·p·(1−p): con n = 10 e p = 0,5, media 5 e deviazione standard 1,58.

Il calcolatore lavora con i logaritmi, quindi regge anche n grandi senza andare in overflow, mentre i coefficienti binomiali sono calcolati con interi esatti: C(90,6) esce 622.614.630 preciso, non arrotondato.

Lotterie: la distribuzione ipergeometrica

Nelle estrazioni senza reimmissione non si usa la binomiale ma l’ipergeometrica: su N numeri totali, K estratti e g giocati, la probabilità di indovinarne esattamente m è P = C(K,m) · C(N−K, g−m) / C(N,g).

• SuperEnalotto (6 numeri su 90): il «sei» è 1 su 622.614.630.
• Lotto, estratto semplice su una ruota (5 numeri estratti su 90, 1 giocato): 1 su 18.
• Lotto, ambo su una ruota giocando 2 numeri: 1 su 400,5.
• Lotto, terno su una ruota giocando 3 numeri: 1 su 11.748.

Due cose che il calcolo rende evidenti. La prima: le estrazioni sono indipendenti, quindi un numero «ritardatario» non ha nessuna probabilità in più di uscire — la moneta non ha memoria. La seconda: in ogni gioco a estrazione il montepremi restituito è una frazione della raccolta, quindi il valore atteso della giocata è negativo per definizione, qualunque sistema si usi.

Dalle quote alla probabilità

Le quote sono probabilità travestite. Una quota decimale q corrisponde a p = 1/q: quota 2,50 → 40%. Una quota frazionaria a/b vale p = b/(a+b): 5/1 → 16,67%. Una quota americana positiva +A vale p = 100/(A+100), una negativa −A vale p = A/(A+100): +150 → 40%, −200 → 66,67%.

Sommando le probabilità implicite di tutti gli esiti di un evento non si ottiene 100% ma qualcosa di più: l’eccedenza è l’overround, il margine del banco. Su quote 1,80 / 3,50 / 4,50 la somma è 106,35%: il margine è del 6,35%. Depurando ogni quota da quel margine si ottengono le probabilità che il bookmaker attribuisce davvero agli esiti.

Errori tipici

• La fallacia del giocatore: dopo cinque rosse alla roulette, il nero non è «più probabile». Ogni giro è indipendente.
• Sommare probabilità di eventi che possono coesistere: si conta due volte l’intersezione e si superano facilmente valori maggiori di 1.
• Confondere P(A|B) con P(B|A): «quasi tutti i malati risultano positivi» non implica «quasi tutti i positivi sono malati».
• Ignorare la prevalenza: su eventi rari anche un test ottimo produce in maggioranza falsi positivi.
• Usare la binomiale al posto dell’ipergeometrica: se estrai senza rimettere, le prove non sono indipendenti.

Strumenti collegati

• Per medie, mediana e deviazione standard di una serie di dati: media ponderata e statistiche.
• Per rapporti e ripartizioni proporzionali: calcolo delle proporzioni.
• Per quote e percentuali di variazione: calcolo delle percentuali.